21 Вариант
1.
Через точку пересечения прямых
и
провести прямую, делящую отрезок между
точками
и
в отношении
.
2.
Найти расстояние от точки А(7;9;7)
до прямой
.
3.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
параллельно прямым
и
.
4. Написать уравнение прямой в каноническом виде и определить направляющие косинусы
5.
Проверить, лежат ли в одной плоскости
точки
,
,
,
.
22 Вариант
1.
Даны уравнения сторон четырехугольника:
,
,
,
.
Найти уравнения его диагоналей.
2.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку А(1;3;–1)
параллельно прямым
и
.
3.
Найти угол между прямой и плоскостью:
,
.
4.
Составить каноническое уравнение
прямой, проходящей через начало координат
параллельно прямой
.
5.
Даны два вектора
и
.
Найти вектор
единично длины перпендикулярный к
вектору
,
образующий угол
с вектором
и тупой угол с осью Oz.
23 Вариант
1.
Вычислить направляющие косинусы прямой
и привести уравнения к каноническому
виду
2.
Найти расстояние от точки А(3;
2; 1) до прямой
.
3.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую
,
перпендикулярную плоскости
.
4.
Найти уравнение прямой, проходящей
через точку
и точку пересечения прямых
и
.
5.
Даны координаты вершин пирамиды
,
,
,
.
Найти:
а) длину ребра
;
b) объем пирамиды;
с)
высоту из вершины
.
24 Вариант
1.
Даны уравнения высот треугольника ABC
,
и координаты его вершин
.
Найти уравнение сторон АВ
и АС
треугольника.
2.
Написать канонические уравнение прямой,
проходящей через точки
и
.
3.
Найти угол между прямыми:
,
.
4.
Написать уравнение плоскости, которая
проходит через точку М(3;
1;–2) и прямую
.
5.
Вычислить
,
если
,
,
.
25 Вариант
1.
Определить угол между прямой и плоскостью
,
2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А4(2;–2;1) перпендикулярно плоскости, проходящей через точки A1(l;0;–4), А2(–2;2;3), А3(3;–1;1).
3. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
и
4.
Дан треугольник с вершинами
,
,
.
Найти уравнение и вычислить длину его
медианы, проведенной из вершины С.
5. Построить треугольник с вершинами А(1;–2;8), В(0;0;4), С(6;2;0). Вычислить его площадь и высоту BD.
26 Вариант
1.
Вычислить координаты точки пересечения
перпендикуляров, проведенных через
середины сторон треугольника, вершинами
которого служат точки
,
,
.
2.
Проверить, параллельны ли прямая и
плоскость
,
.
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые
,
.
4.
Написать уравнения прямой в канонической
форме
.
5.
Доказать, что векторы
,
,
компланарны.
II Линии и поверхности второго порядка
Определение.
Линией
(кривой) второго порядка
называется совокупность точек плоскости,
декартовы координаты
которых удовлетворяют алгебраическому
уравнению второй степени.
(1.1)
где
.
Определение.
Поверхностью
второго порядка
называется множество точек пространства,
декартовы координаты которых
удовлетворяют алгебраическому уравнению
второй степени
(1.2)
где
.
Уравнение (1.1) и (1.2) называется общими уравнениями линии и поверхности второго порядка соответственно. Рассмотрим частные случаи этих уравнений.