Производная и дифференциал Вычисление производных

Основные правила дифференцирования:

Если функция и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке:

Таблица производных:

ПРИМЕР 21. Найти производную функции

РЕШЕНИЕ: Используем первое и второе правила дифференцирования

Далее используем формулу для нахождения производной степенной функции (табличная формула N 2):

ПРИМЕР 22. Найти производную функции

РЕШЕНИЕ: Используем правило дифференцирования произведения и табличные формулы N 4 и N 11:

ПРИМЕР 23. Найти производную функции

РЕШЕНИЕ: Используем правило дифференцирования частного и табличные формулы N 9 и N 13:

Дифференцирование сложной функции

Производная сложной функции у = f(u(x)) вычисляется по формуле

То есть, чтобы найти производную сложной функции, нужно сначала продифференцировать "внешнюю" функцию по промежуточному аргументу и так, как если бы аргумент и был независимой переменной, после чего умножить полученный результат на производную от функции и по переменной х.

Это правило распространяется на сложную функцию, состоящую из любого конечного числа дифференцируемых функций.

ПРИМЕР 24. Найти производную функции

РЕШЕНИЕ: Данная функция - сложная, промежуточный аргумент . Согласно приведенному правилу имеем

ПРИМЕР 25. Найти производную функции

РЕШЕНИЕ: Данная сложная функция составлена из трех функций где Применяем правило дифференцирования сложной функции (начиная дифференцировать с "внешней" функции f ):

Геометрический смысл производной

И дифференциала функции

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат задана кривая, являющаяся графиком функции и на ней точка Производная функции геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой , т.е. (см. рис.12). Тогда уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

Дифференциал функции f(x) в точке находится по формуле , т.е. равен произведению производной функции в заданной точке на дифференциал(приращение) независимой переменной. Геометрически дифференциал функции в точке представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке и при являются эквивалентными бесконечно малыми. Поэтому справедливо приближенное равенство ~ dy, позволяющее приближенно заменять приращение функции дифференциалом.

ПРИМЕР 26. Найти координаты точки пересечения с осью Оу касательной к кривой , где , проведенной к ней в точке

РЕШЕНИЕ: Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид . Найдем сначала производную :

Вычислим тогда уравнение касательной к заданной кривой в точке Мо(-1,4) запишется в виде:

Теперь находим координаты точки пересечения полученной прямой с осью Оу.

Для всех точек, лежащих на оси Оу, х = 0. Подставим в уравнение касательной х = 0, получим у = 8. Значит, касательная у = 4х + 8 пересекает ось Оу в точке(0,8).

Применение правила Лопиталя к нахождению предела функции

При отыскании предела подстановка предельного значения в ряде случаев приводит к неопределенным выражениям типа: . Тогда вычисление заданного предела называют раскрытием неопределенности соответствующего типа. Обычно при этом используют правило Лопиталя.