- •О конечных пределах
- •Эквивалентных бесконечно малых величин
- •Точка разрыва функции
- •Производная и дифференциал Вычисление производных
- •Дифференцирование сложной функции
- •И дифференциала функции
- •Применение правила Лопиталя к нахождению предела функции
- •Раскрытие неопределенностей типа и
- •Раскрытие неопределенностей типа и
- •Раскрытие неопределенностей типа
- •Применение производной к исследованию функции. Построение графиков функций Промежутки монотонности и точки экстремума функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общий план исследования функции
Вычисление пределов с использованием теорем
О конечных пределах
Справедливы следующие теоремы:
-
, (С - постоянная)
-
-
Если каждая из функций f(х) и g(х) имеет при конечный предел, то
Для нахождения предела элементарной функции f(х) при х→a в случае, если а - конечная точка, принадлежащая области определения f(х), нужно вычислить значение этой функции при х = а. Это значение и будет искомым пределом, т.е.
ПРИМЕР 10. Найти пределы функций при
а)
б)
в)
РЕШЕНИЕ: Данные функции элементарные, поэтому можно применить сформулированное правило:
а)
б)
в)
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Функция называется бесконечно малой в точке а (или при ), если функция называется бесконечно большой в точке а (или при ), если
Справедливы теоремы:
1. Сумма конечного числа бесконечно малых в точке a функций -бесконечно малая функция.
2. Если f(x) - функция, ограниченная в некоторой окрестности точки а, функция g(х) - бесконечно малая в этой точке, то функция f(x) ∙ g(х) - бесконечно малая.
-
Если при функция f(x) стремится к отличному от нуля пределу, а функция g(х) - бесконечно большая при , то функция f(x) ∙ g(х) - бесконечно большая при .
-
Если функция f(x) - бесконечно малая в точке аи в некоторой окрестности этой точки не равна нулю, то функция - бесконечно большая в точке а; если f(x) - бесконечно большая в точке а, то - бесконечно малая.
ПРИМЕР 11. Найти a) ; б) .
РЕШЕНИЕ:
а) При функция (х - 1) - бесконечно малая, значит, - бесконечно большая, следовательно, - бесконечно большая, т.е.
б) При функция (х2 + 3) -бесконечно большая, поэтому - бесконечно малая. Функция sinx - ограниченная, значит, произведение - бесконечно малая, т.е.
Раскрытие неопределенностей
Если при формальной подстановке предельного значения аргумента получается выражение вида
то для нахождения пределов функций необходимо проводить преобразования данных выражений.
ПРИМЕР 12. Найти
РЕШЕНИЕ: Непосредственная подстановка значения приводит к неопределенности вида . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби, выделим общий множитель и сократим на него дробь.
Для разложения числителя воспользуемся формулой:
.
В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен. Если квадратный трехчлен имеет корни , то он раскладывается на множители следующим образом:.
Данный квадратный трехчлен имеет корни поэтому Таким образом,
ПРИМЕР 13. Найти
РЕШЕНИЕ: Непосредственно подставляя х = 0, получаем неопределенность . Умножим и разделим данную дробь на выражение, сопряженное числителю, то есть на
Замечание: Если в примере иррациональность имеется в числителе и знаменателе дроби, то дробь следует умножить и разделить на выражение, сопряженное числителю и на выражение, сопряженное знаменателю.
ПРИМЕР 14. Найти
РЕШЕНИЕ: В этом примере неопределенность вида Вынесем за скобки в числителе х3, а в знаменателе х2 (наивысшую степень х для каждого многочлена):
Величины 1/х, 1/х2,1/х3, обратные бесконечно большим,- бесконечно малые, и, значит, выражение в скобках стремится к 3/7. х - бесконечно большая величина, следовательно, произведение х ∙ 3/7 также величина бесконечно большая, то есть
Аналогичный прием вычисления пределов можно использовать для раскрытия неопределенностей в случае иррациональных функций.
ПРИМЕР 15. Найти .
РЕШЕНИЕ:
Так как , то x>0 и, значит, |x| = x. Поэтому
ПРИМЕР 16. Найти .
РЕШЕНИЕ: Имеем неопределенность вида (). Умножим и разделим данное выражение на сопряженное:
Получим неопределенность вида Раскроем ее стандартным способом:
Так как , то x<0 и, значит, |x| = -x. Тогда
Вычисление пределов с использованием