3.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений операционным методом

Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

(3.25)

и заданы начальные условия ,

(3.26)

то есть сформулирована задача Коши.

Операционный метод решения дифференциальных уравнений базируется на том, что искомая функция и правая частьрассматриваются как оригиналы, и к уравнению (3.25) применяются теоремы дифференцирования и линейности.

Пусть , тогда

, (3.27)

Применяя к уравнению (3.25) теорему линейности, с учетом соотношений (3.27) получим

(3.28)

 Алгебраическое уравнение ( 3 .28) называется  2изображающим или  операторным уравнением.

Разрешая его относительно , находим изображение искомого решения

 

 

Далее следует выполнить обратное преобразование Лапласа методами, указанными выше, и найти соответствующий изображению оригинал, который и будет решением задачи Коши (3.25)- (3.26).

 Замечание.  Достоинство операционного метода решения по сравнению с классическим методом решения неоднородных дифференциальных уравнений состоит в том, что начальные условия автоматически ( естественным образом в процессе преобразований ) входят в изображающее уравнение. Поэтому после выполнения обратного преобразования Лапласа сразу получается частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Следовательно, при операционном методе не надо искать произвольные постоянные.

Недостаток метода - трудность обращения преобразования Лапласа, особенно в случае сложной правой части или уравнений высокого порядка.

 Пример.  Решить операционным методом уравнение

при заданных начальных условиях ,.

Пусть ,

С учетом начальных условий ,.

Изображающее уравнение примет вид

 Следовательно,

 

где

Для оригинала, соответствующего изображению воспользуемся теоремой дифференцирования изображения:

 

Изображение , является табличным. Ему соответствует оригинал. Следовательно,

ЛИТЕРАТУРА

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. т. 2. М.: Наука, 1985. -560 с.

2. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа, 1983. -128 c.

3. Бугров Л.С., Никольский С.Н. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1989. -464 с.

4. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. - 2-е изд., перераб.-М.:Высш. шк., 1989. -383 с.

5. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. -М.: Наука, Глав. ред. физико-матем. лит-ры, 1980. -232 с.

6. Ахметшин А.А., Ишмухаметов А.З., Тюмнев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие.- М.: МАМИ, 2002. -144 с.

7. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1968.

8. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z - преобразования. М.: Наука, 1971. -288 c.

9. Григолюк Э.И., Попович В.Е. О применении степенных рядов для интегрирования дифференциальных уравнений. Учебное пособие. N 540. М.: МАМИ, 1979. -61 с.

10. Григолюк Э.И., Попович В.Е. О реализации на ЭЦВМ методов степенных рядов. МУ N 539. М.: МАМИ, 1987. -36 с.

11. Попович В.Е., Кузнецов Е.Б. Методические указания к выполнению домашнего задания по обыкновенным дифференциальным уравнениям. МУ N 553. М.: МАМИ, 1986.

12. Григолюк Э.И.,Попович В.Е. Приближённые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Методические указания по курсу "Обыкновенные дифференциальные уравнения" для студентов заочного отделения всех специальностей.-М.: МАМИ,1997. - 41с.

13. Коган Е.А., Попович В.Е. Обыкновенные дифференциальные уравнения и операционное исчисление. Часть I. Методические указания к выполнению расчетно-графических работ по курсу "Высшая математика" для студентов заочного отделения. МУ N 1413. М.: МАМИ, 1998.

14. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.: Наука, Глав. ред. физико-матем. лит-ры, 1978. -512 с.

15. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифферециальных уравнений. -М.: Наука, 1986. -288 с.

16. Григолюк Э.И. Метод Бубнова. Истоки, формулировка, развитие.-М.: НИИ Механики МГУ, 1996. -58 с.

- 82 -

-  1  0 -

 2СОДЕРЖАНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ................................................ 3

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПО-

НЯТИЯ................................................ 5

1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого

порядка......................................... 5

1.1.1. Геометрическая интерпретация дифференци-

ального уравнения первого порядка. Поле

направлений. Изоклины.................... 7

1.1.2. Дифференциальные уравнения с разделенны-

ми и разделяющимися переменными.......... 9

1.1.3. Однородные дифференциальные уравнения.... 10

1.1.4. Дифференциальные уравнения, приводящиеся

к однородным............................. 11

1.1.5. Линейные дифференциальные уравнения...... 13

1.1.6. Уравнение Бернулли....................... 16

1.1.7. Уравнение в полных дифференциалах........ 17

2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ..............

N - ГО ПОРЯДКА....................................... 20

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений n - го

порядка методом понижения порядка.............. 21

2.2. Решение линейных неоднородных дифференциальных

уравнений n - го порядка с постоянными коэффици-

ентами.......................................... 26

2.2.1. Построение общего решения линейного одно-

родного дифференциального уравнения n-го

порядка.................................. 27

2.2.2. Метод подбора частного решения........... 29

2.2.3. Метод вариации произвольных постоянных... 35

2.3. Задачи на собственные значения.................. 37

2.4. Дифыференциальные линейные неоднородные уравне-

ния с переменными коэффициентами................ 39

- -

- 83 -

2.4.1. Уравнение Эйлера......................... 40

2.4.2. Решение задачи Коши методом степенных ря-

дов...................................... 42

2.4.3. Построение общего решения линейного неод-

нородного уравнения методом степенных ря-

дов...................................... 43

2.4.4. Применение формулы Тейлора............... 46

2.4.5. Особенности суммирования рядов на ЭВМ,ша-

говый подход в методах степенных рядов... 47

2.5. Cистемы дифференциальных уравнений.............. 50

2.5.1. Метод исключения......................... 50

2.5.2. Метод Эйлера............................. 51

2.5.3. Метод вариации произвольных постоянных... 55

2.6. Приближенные аналитические методы решения обык-

новенных дифференциальных уравнений............. 57

2.6.1. Метод Бубнова............................ 60

2.6.2. Метод наименьших квадратов............... 60

2.6.3. Метод коллокаций......................... 61

3. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.............................. 2  066

3.1. Преобразование Лапласа ........................ 2  066

3.2. Обратное преобразование Лапласа................. 2  074

3.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 78

операционным методом............................

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО..

ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО..

ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ.................

ЛИТЕРАТУРА.............................................