4.2. Определение срока постоянной ренты постнумерандо

В таблице 2 приведены формулы для расчета срока постоянных рент постнумерандо. Они выводятся из формул (3.1) – (3.21).

Пример 7. Какой необходим срок для накопления 100000 руб. при условии, что в конце каждого месяца вносится 1000 руб., а на взносы начисляются проценты по сложной ставке 25% годовых?

Имеем: S = 100000 руб. Rp = 1000 руб. р = 12 ic = 0,25	Решение: Так как рента срочная, постнумерандо, проценты начисляются один раз в год, то срок ренты находится по формуле (4.5).
n = ?	Годовая сумма платежей: R = Rp  p = 1000  12 = 12000 руб. Срок: года.

Так как взносы ежемесячные, переведем дробную часть решения в месяцы.

0,7356 года = 0,7356  12 мес. = 8,8272 мес. < 9 мес.

Полученный результат говорит о том, что после внесения очередного взноса через 4 года и 9 месяцев накопленная сумма впервые превысит нужную сумму в размере 100000 руб.

Следует отметить, что мы неявно предполагаем, что при закрытии счета в указанный момент банк за каждый месяц неполного пятого года начислит проценты по сложной ставке за месяц.

В нашем примере это составит 1,88% в месяц.

Проверим правильность решения. При ставке 1,88% в месяц за 57 месяцев (4 года 9 месяцев) и ежемесячной выплате 1000 руб. наращенная сумма составит:

руб.

Задача для самостоятельного решения

7. Определите срок, за который сумма фонда составит 100 тыс. руб., если в фонд вносится по 10 тыс. руб. в конце каждого года и на них ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке 8% годовых.

Таблица 2

Формулы для расчета срока постоянных рент постнумерандо

Количество платежей в году	Количество начислений процентов в году	Сроки платежей
		S	A
p = 1	m = 1	(4.1)	(4.2)
годовая рента	m  1	(4.3)	(4.4)
р  1	m = 1	(4.5)	(4.6)
срочная рента	m =p	(4.7)	(4.8)
	m  p	(4.9)	(4.10)

4.3. Определение процентной ставки финансовой ренты приближенным методом

В отличие от размера платежа и срока ренты процентная ставка не может быть выражена в явной форме. Поэтому для ее нахождения используются приближенные методы.

Чаще всего используют метод линейной интерполяции.

Для нахождения приближенного значения годовой сложной ставки i_с, если известны срок ренты и коэффициент наращения , применяется следующая интерполяционная формула:

, (4.11)

где и — верхнее и нижнее значения процентной ставки, между которыми находится искомое значение i_c.

Эти два значения находятся путем подбора так, чтобы было s^н < s < s^в.

Здесь s — коэффициент наращения, для которого определяется размер ставки i_c; — коэффициенты наращения для верхнего и нижнего значений процентной ставки и .

Если известен коэффициент приведения ренты , то применяется формула

, (4.12)

где а — коэффициент приведения, для которого определяется размер ставки i_c;

а^н, а^в — коэффициенты приведения для верхнего и нижнего значений процентной ставки и .

Вычисления по формулам (4.11) и (4.12) могут быть проделаны многократно до получения требуемой точности.

Пример 8. Планируется вносить в банк в течение семи лет в конце каждого года по 10000 руб. Какова должна быть годовая ставка сложных процентов, чтобы к концу срока было накоплено 100000 руб.?

Имеем: S = 100000 руб. R = 10000 руб. n = 7	Решение: Находим коэффициент наращения s: = 100000 : 10000 = 10.
ic - ?	2. Выберем значения = 11%, = 12%. Для этих значений ставок находим коэффициенты наращения sн и sв.

Так как рента годовая, постнумерандо, проценты начисляются один раз в год, то коэффициент наращения определяется по формуле:

. (4.13)

Для нижнего значения предполагаемой ставки коэффициент наращения равен по формуле (4.13):

.

Для верхнего значения предполагаемой ставки коэффициент наращения равен по формуле (4.13):

.

Отсюда i_c определяем по формуле (4.11):

или 11,709%.