Тема 5

1. На каких ограничениях базируется портфельная теория Марковица?

Классическая теория портфеля, впервые разработанная Гарри Марковицем в 1952 г., впоследствии значительно усовершенствованная, сводится фактически к методике нахождения наилучшей комбинации из ограниченного числа инвестиционных активов с учетом объективных характеристик этих активов и субъективных предпочтений конкретного инвестора.

Портфельная теория Марковица базируется на ограничениях (предположениях):

• Инвестор обладает некоторым объемом собственных ресурсов, он также может использовать и заемные ресурсы, но только в дополнение к собственным.

• Инвестиционный портфель формируется на ограниченный срок, по истечении которого он ликвидируется (активы распродаются), а выручка направляется на потребление или формирование нового портфеля.

• В течение выбранного срока инвестирования структура портфеля не пересматривается, т.е. инвестор не осуществляет никаких действий, направленных на изменение его состава и структуры.

• Каждый инвестиционный актив или портфель оценивается по двум параметрам: ожидаемая доходность и рискованность (вариация ожидаемой доходности).

• Инвестор рационален, т.е. каждый инвестор стремится к меньшему риску при равном доходе и большему доходу при равном риске.

2. В чем состоят особенности портфеля Марковица?

Особенностью фондового портфеля (ФП), анализируемого Марковицем является портфель, состоящий только из рисковых активов.

3. Как отобразить графически зависимость степени общего риска инвестиционного портфеля от числа активов в портфеле?

5. В чем суть стратегии диверсификации портфеля по Марковицу и ее отличие от «наивной» диверсификации?

Фондовый портфель, содержащий большое количество самых разнообразных ценных бумаг, называется диверсифицированным портфелем. Утверждение о том, что чем больше различных активов содержит портфель, тем ниже его риск (верно) и относится к понятию наивной диверсификации. Хотя подобный портфель значительно снижает диверсифицируемые (несистемные – внутренние) риски, но полностью устранить инвестиционный риск путем диверсификации ФП нельзя, так как при вложении капитала присутствует еще и недиверсифицируемый или системный (рыночный) риск, присущий конкретной экономической системе в целом или отдельному финансовому рынку и, не поддающийся диверсификации. Системный риск обусловлен общим состоянием экономики и связан с такими факторами, как: война, инфляция, глобальные изменения налогообложения, изменение денежной политики, общерыночные колебания.

Однако чтобы измерить риск портфеля, нам нужно не только знать вариацию доходов отдельных ценных бумаг, но и степень, с которой доходы пар ценных 6yмаг колеблются вместе.

Общая доходность и риск инвестиционного портфеля могут меняться путем варьирования его структуры (диверсификации портфеля).

Минимизация риска ФП достигается за счет включения в портфель бумаг разных отраслей, не связанных тесно между собой, чтобы избежать синхронности циклических колебаний их деловой активности. Исследования показали, что большая часть риска портфеля устраняется, если в него входит от 8 до 20 различных ценных бумаг, дальнейшее увеличение их количества уже незначительно уменьшает риск. Свести к нулю риск невозможно, т.к. риск портфеля состоит из двух частей: уникального риска и рыночного риска. Диверсификацией можно снизить только уникальный (внутренний, специфический) риск, т.е. конкретный риск для каждого предприятия, не зависящий от общего состояния экономики. Фондовый портфель, в котором несистемный риск составляет 10-15% является хорошо диверсифицированным.

На системный риск по статистике приходится от 25 до 50% общего риска и, поскольку в такой ситуации затрагиваются все компании, очевидно, что системный риск нельзя устранить диверсификацией ( см. рис. 2).

Общий риск портфеля

Уникальный риск

Рыночный (системный) риск

Число финансовых

инструментов в портфеле

рис. 2. Зависимость общего риска ФП от количества инструментов

В центре внимания стратегии диверсификации Марковица, прежде всего, находится уровень ковариации доходностей активов портфеля.

Ключевой вклад Марковица состоит в постановке вопроса о риске активов как составляющих единого портфеля, а не отдельно взятых единиц.

Данная стратегия, стремясь к максимально возможному снижению риска при сохранении требуемого уровня доходности, состоит в выборе таких активов, доходности которых имели бы возможно меньшую положительную корреляцию. Именно учет взаимной корреляции доходностей активов с целью снижения риска отличает стратегию диверсификации Марковица от стратегии наивной диверсификации.

Из этой теории следует ряд важных выводов:

• Общий риск ФП складывается из системного (рыночного) риска и несистемного (уникального) риска.

• Несистемный риск фондового портфеля инвестор может устранить путем диверсификации.

• При управлении портфелем основное внимание необходимо уделять риску всего портфеля, а не риску отдельных активов. Подбирая соответствующую комбинацию активов, финансовый менеджер должен учитывать ковариацию доходностей между активами, входящими в него.

• Общий риск фондового портфеля не является средневзвешенной величиной общего риска активов, входящих в него.

Способ диверсификации Марковица и важность анализа и учета корреляции доходностей активов можно проанализировать на примере портфеля из трех активов. Для этого мы сначала покажем общую взаимосвязь ожидаемого риска портфеля из трех активов и корреляции их доходностей. Затем мы изучим влияние комбинирования активов с различными корреляциями на риск всего портфеля.

4. Как оценивается общий риск фондового портфеля, состоящего из двух, трех и n-активов?

Риск портфеля – это стандартное отклонение ожидаемой доходности всего ИП в целом. Стандартное отклонение доходности ИП представляет собой квадратный корень из дисперсии портфельной доходности. Дисперсию доходности портфеля называют его вариацией (V_p).

Вариация(дисперсия) доходности фондового портфеля определяется по формуле 6 или по формуле 8:

²_п=VAR_п= ²_i+2* _i*_j, (6)

_{при ij}

где V_i- доля i-того актива,

_I – риск i-того актива.

Риск ФП вычисляется как корень квадратный из дисперсии доходности, например может быть вычислен по формуле 7.

(7)

С учетом определения ковариации по формуле 4, дисперсия доходности портфеля может быть вычислена по формуле8:

²_п=V_п= ²_i+2* (8)

Дисперсия доходности портфеля, состоящего из двух активов, как частный случай формулы 8 оценивается по формуле 9:

²_п=V_p=V₁²*²₁+ V₂²*²₂+ 2* V_1* V₂ *COV ₁₂ (9)

Дисперсия доходности портфеля, состоящего из трех активов оценивается по формуле 10:

²_п=V_п=V₁²*²₁+ V₂²*²₂₊ V₃²*²₃ +2* V_1* V₂ *COV ₁₂ + (10)

2* V_1* V3 *COV ₁₃ +2* V_2* V3 *COV ₂₃

Смысл формул 6-10 состоим в том, что вариация доходности портфеля – это взвешенная сумма вариаций доходностей отдельных активов портфеля плюс взвешенная сумма «степеней их взаимодействия».

6. Дайте определение допустимого и эффективного портфелей рисковых активов по Марковицу.

Марковиц использует термин «эффективный» для характеристики портфеля, составленного из лучших по данной цене активов с минимальной изменчивостью доходности. Можно было бы говорить в данном случае об оптимизации. Подход объединяет два основных стереотипа поведения, понятных самому незрелому инвестору; кто не рискует, тот не выигрывает, но и не клади все яйца в одну корзину.

Важно понять, что не существует единственного эффективного портфеля, который был бы эффективнее всех остальных. Средствами линейного программирования метод Марковица предлагает меню эффективных портфелей. Как у всякого меню, у него две стороны: с одной стороны, ваши желания, с другой — цена. Чем выше ожидаемый доход, тем больше риск. Но каждый из эффективных портфелей этого меню обеспечивает максимальный ожидаемый доход для заданного уровня риска или минимальный уровень риска для заданного ожидаемого дохода.

Наиболее сложной процедурой в ходе реализации модели Марковица является накопление вычислений, необходимых для оценки того, как курсы разных акций или облигаций меняются по отношению к курсам других акций или облигаций.

Портфель Марковица максимальной эффективности можно сформировать следующим образом:

• Сформировать портфель минимального риска из всех портфелей, имеющих эффективность не менее заданной. Необходимо найти доли распределения имеющегося капитала, минимизирующие риск портфеля и удовлетворяющие различным ограничениям по доходности и ликвидности.

• Сформировать портфель, максимизирующий ожидаемую прибыль и имеющий риск, не более заданного и с другими ограничениями.

Особенностями портфеля Марковица являются еще и то, что :

В модели Марковица допустимыми портфелями являются только стандартные портфели (портфели без коротких позиций), т.е. накладывается дополнительное условие: X_i0 ( это означает, что инвестор должен вложить x_i долю своего капитала в _i – вид ценных бумаг. Если же допускается x_i < 0, то инвестору следует взять в долг ценные бумаги i – го вида на сумму, равную x_i долей своего капитала).

Доходность стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен.

В модели Блэка или Росса, например, допустимыми являются любые портфели, а не только стандартные, т.е. отсутствует условие неотрицательности Xi, т.е. допускается наличие коротких позиций. Эта особенность позволяет реализовать любую сколь угодно большую доходность за счет большого риска.

Возможные варианты оптимизации портфеля ценных бумаг

При формировании портфеля возможны следующие основные подходы к математической формулировке задач оптимизации ИП:

1 целевая функция – максимизация доходности (агрессивный портфель), остальное – в ограничения;

2 целевая функция – минимизация риска (пассивный портфель), остальное – в ограничения.

Для получения количественных характеристик портфеля используются следующие зависимости: