Контрольна робота № 3

1. Перевірити чи утворюють наступні множини векторні простори над полем дійсних чисел r

1. Сукупність векторів площини, початок кожного з яких збігається з початком координат, а кінець міститься в першій або четвертій координатних четвертях;

2. Множина многочленів степеня від однієї змінної дійсними коефіцієнтами;

3. Множина всіх функцій, неперервних на відрізку

4. Множина всіх збіжних послідовностей;

5. Множина квадратних матриць порядку n відносно звичайних операцій додавання матриць і множення їх на число.

6. Множина всіх многочленів f (х), що задовольняють умові f(0)= 1 відносно додавання многочленів і множення їх на число;

7. Множина комплексних чисел (зокрема, розглянути множину над полем раціональних чисел відносно звичайних операцій додавання і множення їх на число);

8. Множина всіх функцій, інтегрованих на відрізку ;

9. Розв’язки довільної системи лінійних однорідних рівнянь над деяким полемP.

10. Множина P додатних чисел з наступними операціями: додавання - для будь-яких “х+у=ху”, множення на число з поля K_0- для будь-яких і .

ІІ. Довести, що вектори утворюють базис та знайти координати вектора в цьому базисі.

Таблиця параметрів:

Варіант параметр	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	1	2	-1	-3	3	-2	1	-2	3	0
b	7	1	2	1	-2	3	0	-3	7	-5
c	-1	-3	-3	4	1	5	3	5	-1	4

ІІІ. Довести, що кожна з двох даних систем векторів є базисом і знайти зв’язок між координатами того самого довільно вибраного вектора в цих двох базисах.

1. 

2. 

3. 

3. 

3. 

3. 

7

8.

9.

10.

ІV. Знайти базиси суми і перетину векторних підпросторів V і U, заданих як лінійні оболонки векторів a _1, a _2, ... a_k і b_{1 ,} b_{2,…. ,}b і відповідно.

Таблиця параметрів

Варіант параметр	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
e1	4	4	-2	5	5	3	5	-4	-5	-2
e2	2	-2	2	4	2	4	-2	-2	-4	-7
e3	5	-1	3	8	7	4	1	-5	-8	-2
t1	2	-2	2	4	2	4	-2	-2	-4	-7
t2	5	-3	3	9	6	7	-2	-5	-9	-2
t3	8	-4	4	14	10	10	-2	-8	-14	-6

V. На вектори , , натягнута лінійна оболонка L

а) побудувати ортонормований базис простору L;

б) знайти ортогональне доповнення ;

в) знайти відповідно проекції і вектора на підпростори і

г) знайти кут між вектором і простором ;

д) знайти відстань між вектором і підпростором ;

Таблиця параметрів

Варіант параметр	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
а1	1	2	1	1	1	1	1	2	2	1
а2	1	1	1	1	-1	2	1	2	1	1
а3	-2	1	1	0	2	2	-1	1	3	1
а4	2	-1	1	-2	1	-1	-2	-1	-1	1
b1	2	1	1	2	1	1	5	1	7	2
b2	0	1	2	1	0	1	8	-5	4	3
b3	1	3	2	-1	1	-5	-2	1	3	3
b4	3	0	-1	1	-1	3	-3	3	-3	1
c1	4	1	1	3	2	5	3	3	1	1
c2	2	2	0	2	-1	9	9	3	1	1
c3	-1	8	0	-1	3	3	3	4	-6	1
c4	7	1	3	-1	0	-7	8	-4	0	5
x1	3	5	4	1	8	2	1	1	-1	2
x2	-2	2	-1	2	5	0	-2	0	1	-1
x3	-1	-2	-3	-3	-3	-1	3	2	-3	3
x4	0	2	4	5	6	3	4	7	2	1

VІ. Довести, що множення кожної квадратичної матриці другого

порядку з дійсними елементами зліва на матрицю є лінійним оператором векторного простору квадратних матриць другого порядку над полем дійсних чисел R. Знайти матрицю цього лінійного оператора у базисі, що складається з матриць:

1. E_{1 =; =; = ;}

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

VІІ. Нехай лінійний оператор A в базисі а = < а_1, а₂ > має матрицю , а лінійний оператор B у базисі b=<b₁,b_2,> має матрицю . Знайти матрицю Х лінійного оператора AB в базисі, в якому задано координати всіх векторів.

Таблиця параметрів

Варіант параметр	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
а1	(-3,-1)	(1,3)	(1,-1)	(-1,2)	(2,3)	(1,7)	(2,-3)	(4,1)	(3,1)	(1,-4)
а2	(7,2)	(2,5)	(7,2)	(3,1)	(1,5)	(5,2)	(1,2)	(5,3)	(-1,4)	(3,2)
б1	(3,2)	(-1,2)	(1,3)	(2,-1)	(1,2)	(-1,3)	(1,1)	(-2,-1)	(1,5)	(2,1)
б2	(4,3)	(3,2)	(4,2)	(1,1)	(3,4)	(2,3)	(2,0)	(3,4)	(3,2)	(-1,1)

VІІІ. Побудувати ядро A область значень ImA, та знайти ранг r=dim(ImA), дефект d=dim(KerA) лінійного оператора A векторного простору L_3, який у деякому базисі цього простору B=< заданий своєю матрицею:

1. 2. 3.

4.; 5.A=; 6.

7.A=; 8. A=; 9. A=;

10.A=;

IX. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора A, заданого в деякому базисі B=<b₁,b₂,b₃> цього простору матрицями n.VIII.

X. Чи зводиться відповідна матриця А n.VIII n. IX лінійного оператора A векторного простору V₃ до діагонального виду за допомогою переходу до іншого базису? Знайти цей базис і відповідну йому матрицю.