3.8.3. Полиномиальные фильтры Чебышева

Если в качестве функции фильтрации в формулах (1) и (2) использовать полином Чебышева, обозначаемый , то формулы примут вид:

, (5) где - полином Чебышева степени (порядка) m;

ε – коэффициент неравномерности ослабления, определяемый по формулам (3) или (4).

Фильтры с данными частотными характеристиками называются фильтрами Чебышева. Проанализируем частотные характеристики фильтра Чебышева. Для этого вначале рассмотрим свойства полиномов . Ниже приведены шесть первых полиномов Чебышева:

Любой полином Чебышева при может быть вычислен по рекуррентной формуле: . Таким образом, выражения (5) удовлетворяют общим выражениям характеристик полиномиальных фильтров и при Ω > 1 значения полиномов резко возрастают.

Существует единая тригонометрическая форма записи полиномов Чебышева в интервале :

(6)

Вне этого интервала полиномы также представляются в тригонометрической форме:

(7)

Анализ поведения полиномов Чебышева показывает, что в интервале угол изменяется от –π до π, поэтому полином ровно m раз принимает значения, равные нулю, и m+1 раз достигает значений, равных +1 или -1 и чередующихся друг с другом. Вне интервала полином монотонно возрастает быстрее всех других полиномов такого же порядка.

Рабочее ослабление фильтра Чебышева на тех частотах , где полином обращается в нуль, также обращается в нуль. На частотах, на которых равен , рабочее ослабление достигает величины:

.

С ростом значений полинома на частотах рабочее ослабление также монотонно растет. Приведем для примера график рабочего ослабления фильтра Чебышева четвертого порядка: При нечетном n график ослабления начинается с 0, при четном с

А_рмах=ΔА. Количество экстремумов в ПП с учетом граничной частоты равноn+1. .

Фильтры Чебышева называют также фильтрами с равноволновой характеристикой ослабления в полосе пропускания.

Чтобы характеристики фильтра отвечали требованиям в полосе непропускания, необходимо выбрать порядок фильтра m из условия . Для полосы непропускания определяется формулой (7), следовательно, . Проведя ряд преобразований получим: . В этой формуле величина измеряется в неперах. При использовании единицы децибел порядок фильтра вычисляется из выражения:

Для формирования рабочей передаточной функции по Чебышеву поступаем аналогично выше изложенному :

определяется корнями уравнения , лежащими в левой полуплоскости:

,

где .

Таким образом,

3.8.4. Сравнение фильтров Баттерворта и Чебышева

Сравнивая частотные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева, следует указать, что полиномы Чебышева являются полиномами наилучшего приближения. Это означает, что при одинаковом значении m из всех полиномиальных фильтров, ослабления которых в полосе пропускания не превышают , наибольшие значения ослабления в полосе непропускания имеет фильтр Чебышева. В частности, рабочее ослабление фильтра Чебышева в полосе непропускания может превышать (и весьма значительно) рабочее ослабление фильтра Баттерворта при равных значениях m и .При заданных требованиях по ослаблению в ПН фильтр Чебышева может иметь меньший порядок чем у Баттерворта. Однако характеристика рабочего ослабления фильтра Баттерворта имеет в полосе пропускания монотонный характер и легче поддается корректированию для устранения искажений передаваемых сигналов. Фильтр Баттерворта из за этого более прост в настройке и изготовлении. Так же у него более линейна фазовая характеристика.