§ 10.2. Законы теплового излучения абсолютно черного тела

1. После установления закона Кирхгофа (10.7) стало очевидным, что первоочередная задача теории теплового излучения состоит в нахождении вида функции Кирхгофа, т. е. в выяснении вида зависимости испускательной способности Гу абсолютно черного тела от его температуры Т и частоты излучения v. Однако сначала удалось решить более простую задачу — найти зависимость инте­гральной испускательной способности RZ абсолютно черного тела от его температуры. Л. Больцман, применив термодинамический метод к исследованию черного излучения теоретически, показал (1884), что интегральная испускательная способность абсолютно черного те­ла пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры:

(10.14)

Этот закон получил название закона Стефана — Больцмана, так

как еще в 1879 г. Д. Стефан на основе анализа экспериментальных данных пришел к аналогичному выводу. Однако Стефан ошибочно считал, что интегральная испускательная способность любого тела также пропорциональна четвертой степени его абсолютной тем­пературы. Коэффициент пропорциональности о на­зывается постоянной Сте­фана — Больцмана. В ре­зультате многочисленных экспериментов найдено, что

0 = 5,67032 (71) х

X 10-⁸Вт/(м²-К⁴).

2. Значительно более сложной оказалась задача отыскания вида функции Кирхгофа r_v, т. е. выясне­ние спектрального состава излучения абсолютно черного тела. Решение этой задачи вышло далеко за рамки теории теплового излучения и сыграло огромную роль во всем дальнейшем развитии физики, так как привело к уста­новлению квантового характера излучения и поглощения энергии атомами и молекулами.

Эксперименты показали, что зависимость /-* от частоты v при раз­ных температурах Т абсолютно черного тела имеет вид, изображенный на рис. 10.3. При малых частотах r₄~v-T, а в области больших частот (правые ветви кривых вдали от максимумов) зависимость r_v от частоты имеет вид

r*~ v³e-^a-^v/^r, (10.15)

где at — постоянная величина, выраженная в кельвинах-секундах (К-с). Зависимость (10.15) была установлена В. Вином. Существо­вание на каждой кривой более или менее ярко выраженного макси­мума свидетельствует о том, что энергия излучения абсолютно черного тела распределена по его спектру неравномерно: абсолютно черное тело почти не излучает энергии в области очень малых и очень больших частот. По мере повышения температуры тела максимум r_v смещается в область больших частот. Площадь, ограниченная кривой зависимости r_v от v и осью абсцисс, пропорциональна интегральной испускательной способности RZ абсолютно черного тела. Поэтому в соответствии с законом Стефана — Больцмана она возрастает про­порционально Т⁴.

3. Первое теоретическое исследование вида функции Кирхгофа было предпринято московским физиком В. А. Михельсоном (1887). В. Вин рассмотрел (1893) задачу об адиабатическом сжатии черного излучения в цилиндрическом сосуде с подвижным зеркальным порш­нем и зеркальными стенками. Приняв во внимание, что вследствие эффекта Доплера частота излучения изменяется при отражении от движущегося поршня, он получил следующее выражение для функции Кирхгофа:

_r* = v³/(v/T), (Ю.15')

где /(v/T) — функция отношения частоты излучения абсолютно чер­ного тела к его температуре. Хотя Вину не удалось теоретически установить вид функции f{v/T), формула Вина (10.15') позволила получить ряд очень важных результатов. Например, из (10.15') вы­текает закон Стефана — Больцмана:

^{RZ = J v3/ {v/T) dv = T«S (v/Л3 / (v/T) d (v/T) = oT\}

где а = x³f (х) dx—постоянный коэффициент (через х обозначено о

отношение v/T).

Из закона Вина можно найти зависимость от температуры частоты v_m, соответствующей максимальному значению испускательной спо­собности r_v абсолютно черного тела. При v=v,„ частная производная

g7=»3vY(-f-)+-y-r ^г) Должна быть равна нулю:

3/

= 0, или

(10.16)

Из (10.16) следует¹, что

(10.17)

_гд_е fri — постоянная величина, являющаяся корнем уравнения (10.16), зависящая от вида функции f(v/T). Уравнение (10.17) выражает закон смещения Вина: частота, соответствующая максимальному значению испускательной способности r_v абсолютно черного тела, прямо про­порциональна его абсолютной температуре.

Значения частот v_ml, v_m2, v_m3, v_m4, соответствующие четырем раз­личным температурам Т_и Т_г, Т₈, Г₄, показаны на рис. 10.3. ^

Обычно закон смещения Вина записывают в несколько иной форме: для максимума испускательной способности абсолютно черного тела rl, отнесенной к интервалу dl длин волн (в вакууме),

rj[ = -^L, (Ю.18)

где dW_K3JI — энергия электромагнитного излучения за единицу вре­мени с единицы площади поверхности абсолютно черного тела в ин­тервале длин волн от X до X+dX. Так как, по определению, r*_v и г\ не могут быть отрицательными, то из (10.18) и (10.1) следует, что

. , I dv

Поскольку V = y и ^ = —JJ . ^то

С (10.19)

Подставляя в (10.19) выражение для г* из формулы закона Вина (10.15'), получаем

Пользуясь выражением (10.20) для функции rj, легко показать что длина волны Х_т, соответствующая максимальному значению ис­пускательной способности г\ абсолютно черного тела, обратно про­порциональна его абсолютной температуре:

Х_т=~. (10.17')

Это другая форма выражения закона смещения Вина, который полностью согласуется с результатами экспериментов. По современным данным, постоянная Вина 6=2,898-10"³ м-К. Из закона Вина (10.17') видно, что при понижении температуры абсолютно черного тела мак­симум энергии его излучения смещается в область больших длин волн. Становится понятным, почему при понижении температуры светящихся тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение — белое каление переходит в красное, а затем вообще не воспринимается глазом.

Из формул (10.20) и (10.17') следует, что максимальная испуска- тельная способность rl абсолютно черного тела пропорциональна пятой степени его абсолютной температуры: *

Сяис = 4Кт)^Г- <¹⁰-²¹>

Заметим, что испускательные способности г? и г{, связанные со­отношением (10.19), не пропорциональны друг другу. Поэтому их максимумы лежат в разных частях спектра, а соответст­вующие им значения Я_т и v_m н е связаны соотношением

X=c/v.

4. Дальнейшее исследование вида функции Кирхгофа методами классической физики предпринималось рядом ученых. Мы остано­вимся только на результатах исследования Д. Рэлея и Д. Джинса.

Рэлей подошел (1900) к изучению спектральных закономерностей черного излучения с позиций статистической физики, а не термоди­намики, как это делали его предшественники. Он рассмотрел равно­весное (черное) излучение в замкнутой полости с зеркальными стен­ками как совокупность пространственных стоячих электромагнитных волн. Частоты этих волн должны удовлетворять определенным усло­виям, подобным условиям для частот стоячих упругих волн в стержнях [см. (1.46') и (1.47')1. Рэлей показал, что число dn таких собствен­ных частот, находящихся в интервале от v до v+dv, пропорционально объему полости V, квадрату частоты v и ширине интервала dv: dn~ ~Wdv.

1 dW

V dv

v*kT,

Колебания с разными собственными частотами совершаются не­зависимо друг от друга. Поэтому каждой собственной частоте соот­ветствует своя колебательная степень свободы черного излучения. Далее, применив закон классической статистической физики о равном распределении энергии по

всем степеням свободы равновесной системы, Рэлей показал, что энергия dW излучения в полости, соот­ветствующая интервалу частот от v до v+dv,

dW ~ Vv*kT dv и р (v, Т)

где kT — средняя энергия, приходящаяся на одну колебательную степень свободы (см. т. I, § 15.4), k — постоянная Больцмана. Таким образом, Рэлей получил, что

r_v = i-p(v, T)~v*T.

В дальнейшем Рэлей и Джине уточнили эту формулу, вычислив значение коэффициента пропорциональности:

_r; = i^lftr. (10.22)

Формула Рэлея — Джинса (10.22) хорошо согласовалась с данными опытов только в области малых частот излучения. Для больших ча­стот она была явно неверна (рис. 10.4). Формула Рэлея — Джинса противоречила также закону смещения Вина и закону Стефана—Больц­мана: по формуле (10.22) r_v моно­тонно возрастает с ростом частоты, не имея максимума, а интегральная испускательная способность абсолют­но черного тела при любой темпера­туре обращается в бесконечность:

2nkT

dv-

j" v² dv =

0

(10.22')

Работы Рэлея и Джинса ясно показали, что последовательное при­менение классической физики к исследованию спектрального состава черного излучения дает абсурдные результаты, находящиеся в противоречии с законом сохранения энергии

Невозможность отыскания методами классической теоретической физики такого выражения для функции Кирхгофа, которое согласо­валось бы с данными экспериментов во всем интервале частот от О до со, получило образное название «ультрафиолетовой катастрофы» ².

¹ Смысл названия заключается в том, что нарушение закона сохранения энер­гии происходит при подстановке в интеграл (10.22') бесконечности в качестве верхнего предела частот.

5. Найти правильное выражение для функции Кирхгофа и дать теоретическое обоснование спектральных закономерностей черного излучения впервые удалось немецкому физику М. Планку. Выше уже отмечалось, что объемная плотность энергии равновесного излучения в замкнутой полости и распределение энергии этого излучения по частотам зависят только от температуры стенок полости. Материал стенок, т. е. конкретные свойства системы, с которой связано равно­весное излучение, не играет никакой роли. Поэтому в своих расчетах Планк выбрал наиболее простую модель излучающей системы (стенок полости) в виде совокупности линейных гармонических осцилляторов (электрических диполей) со всевозможными собственными частотами v. Исходя из того, что в состоянии термодинамического равновесия рас­ход энергии на излучение осцилляторов с собственной частотой v должен полностью компенсироваться в результате поглощения этими осцилляторами энергии падающего на них излучения, Планк показал (1899), что

р (v, Т) = -р- <e_v> и r_v = -^5- <e_v>, (10.23)

где <e_v> — средняя энергия осциллятора с собственной частотой v. Если бы для ее определения Планк, подобно Рэлею, воспользовался законом классической статистической физики о равном распределении энергии по всем степеням свободы равновесной системы, то он получил бы, что <e_v>=&7\ При этом его формула (10.23) совпала бы с (10.22). Однако Планк пытался найти выражение для <s_v>, исходя из тер­модинамических соотношений. Он был убежден, что между энтропией 5 осциллятора и его средней энергией должна существовать сравни­тельно простая связь.

В октябре 1900 г. Планку удалось подобрать такой вид зави­симости 5 от <6v>, при котором

<^£v> ~ ^тЬг ^{и r}*=7i$rzr • * ⁽¹⁰-²⁴⁾

где Й1 и а₂ — постоянные коэффициенты.

Оказалось, что формула (10.24) блестяще согласуется с резуль­татами экспериментов при всех частотах и температурах. Поэтому следующий основной этап исследования, завершенный Планком в де­кабре 1900 г., состоял в выяснении физического смысла и теоретиче­ском "обосновании столь удачно угаданного им соотношения между энтропией и средней энергией осциллятора. Применив статистический метод Больцмана, Планк вывел искомое соотношение. Однако для этого ему пришлось ввести так называемую квантовую гипотезу, со­вершенно чуждую классической физике. В классической физике предполагается, что энергия любой системы может изменяться непре­рывно, принимая любые сколь угодно близкие значения. Согласно квантовой гипотезе Планка, энергия e_v осциллятора может принимать только определенные дискретные значения, равные целому числу элементарных порций — квантов энергии e_v0:

e_v = ne_v0 (n = 0; 1; 2; ...)

При этом условии средняя энергия осциллятора оказалась равной

_{<е >=} ^е™

Соответственно испускательная способность абсолютно черного тела

_2ltv³ evo _ (10.25)

_e^eV0'^si J

Из сопоставления (10.25) с формулой Вина (10.15') следует, что выражение Щ- — должно зависеть от отношения v/T. Поэтому

с' _еЧ>о'^й' [

квант энергии должен быть пропорционален частоте v:

E_v0 = hv, (10.26)

(10.27)

где h — универсальная постоянная^х, получившая название постоян­ной Планка. Окончательное выражение формулы Планка для испу­скательной способности абсолютно черного тела имеет вид

* 2jxv⁴ hx

_ehv/kT _j

_ehv/kT .

В области малых частот, т. е. при условии, что квант энергии hx во много раз меньше средней энергии осциллятора, формула Планка совпадает с формулой Рэлея — Джинса. Для доказательства этого разложим e^hv^^kT в ряд:

1 ₊ _^L₊_L f-^_Y+-L (*lY+ ^ kT ^ 2! \kT J ^ 3! V kT J ^T'"'

Если hx<^kT, то e^hv/kT—l^hv/kT и из формулы Планка (10.27) следует формула Рэлея — Джинса (10.22):

• 2лх⁵ hx 2nv⁶ , _

^rv ~~ * _hv/kT

В области больших частот hx ^> kT и единицей в знаменателе формулы (10.27) мож­но пренебречь по сравнению с е^Нх^^кт. Тогда получим формулу

, 2nhx⁷ _n-hv/kT

Г\~ 5—с ,

С

которая совпадает с выражением Вина (10.15), причем ay=h/k.

6. Из формулы Планка легко получить закон Стефана — Больц­мана и закон смещения Вина. При этом постоянную Планка можно

КошУ/й™™""™ ^СтеФ>™ ~ Больцмана (<,).„ Вина (6)

ность абсолютно черного тела

2nv² Av

С² Jl\/kT

о ^е

Произведем замену переменной. Обозначим x^hvlkT, так что ^dx=:4r^{dv и dv} = -~dx. Тогда

c*A» J !*=Т = 1дЗйг. так как] -—. = . Таким образом,

⁰ б

2лЧ

1&ЧГ- (Ю.28)

Из соотношения (10.28) Планк впервые определил величину по­стоянной h. По современным данным,

/г = 6,626176 (36)- 10-³*Дж-с. Для вывода закона смещения Вина найдем с помощью формул (10.19) и (10.27) выражение для испускательной способности г\ абсолютно черного тела:

с . 2ne²/i 1

^ГК = Ъ^Г^—' е^^)-1 ' ^(Ю>29)

drl__ 2яс²Л I kTK

откуда

^hc _rhcl(kTX) ~1

kTK

^{дК k«(ehcttkTV-i) \_~ehc/(kTi)_^ 5J}

*e*—5e*-|-5 = 0.

_{-ьГСу^^^^равный 4-965- c~-}

^lmT==<Sbk^=b

^Л = ⁴'⁹⁶⁵ ?- (10.30)

Формула (10.30) позволяет независимым от закона Стефана — Больцмана способом определить постоянную Планка по известному из опыта значению постоянной Вина. Значения п, определенные по формулам (10.28) и (10.30), совпадают между собой и согласуются со значениями п, полученными другими способами (см. §11.1).