Лабораторные работы / Копия Практическая работа 1 - 9
.docДано:
структурная схема системы управления (СУ)
Провести анализ устойчивости СУ методами:
1. Ляпунова
2. Рауса
3. Гурвица
4. Льенера-Шипара
5. Михайлова
6. Найквиста
7. D-разбиения
8. Шур-Кона
Передаточная функция разомкнутой системы:
Передаточная функция замкнутой системы:
Система является устойчивой по критерию Ляпунова, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости.
Характеристическое уравнение замкнутой системы:
Уравнение имеет 6 корней, лежащих в левой полуплоскости, следовательно разомкнутая система устойчива.
Определим устойчивость системы по методу Рауса.
Составим программу для построения таблицы Рауса:
Коэффициенты характеристического уравнения:
Поскольку все коэффициенты 1 столбца таблицы положительны, система устойчива.
Определим устойчивость системы по методу Гурвица.
Составим программу для построения определителей Гурвица:
Вычислим определители:
Все определители Гурвица положительны, следовательно система устойчива.
Критерий Льенера-Шипара состоит в следующем: если выполняется необходимое условие устойчивости (все коэффициенты характеристического уравнения положительны), достаточно вычислить только четные (нечетные) определители Гурвица; если все они положительны, система устойчива.
Нечетные определители Гурвица больше 0, система устойчива.
Определим устойчивость СУ по критерию Михайлова.
Заменим в характеристическом уравнении p на j и выделим действительную и мнимую части:
Построим годограф Михайлова:
Система устойчива по критерию Михайлова, если годограф Михайлова, начинаясь на положительной вещественной полуоси, при изменении частоты от нуля до бесконечности повернулась в положительном направлении вокруг начала координат последовательно, нигде не обращаясь в ноль на n квадрантов, где n - порядок характеристического уравнения.
Как видно из графика, кривая Михайлова началась на вещественной положительной полуоси и прошла 6 квадрантов в положительном направлении, нигде не обращаясь в 0, следовательно система устойчива.
Определим устойчивость замкнутой САУ по АФЧХ разомкнутой методом Найквиста.
Найдем АФЧХ разомкнутой системы:
Построим годограф Найквиста (АФЧХ разомкнутой системы):
Чтобы САУ, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом, необходимо и достаточно, чтобы кривая АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывала точку (-1 + j0).
Так как разомкнутая система астатическая 1 порядка, дополним график дугой бесконечного радиуса, поворачивающейся при =0 на угол от 0 до (/2)*, где =1 - порядок астатичности.
Как видно из графика, годограф Найквиста не охватывает точку (-1 + j0), следовательно система будет устойчива в замкнутом состоянии.
Определим область устойчивости системы методом D-разбиения.
D-разбиение - разбиение плоскости искомого параметра на области, в которых число корней с положительной действительной частью постоянно. Область устойчивости - область с числом корней с положительной вещественной частью, равным 0. Оптимальное значение параметра выбирается на вещественной оси в середине области устойчивости. Граница D-разбиения - решение характеристического уравнения D(j) = 0 для искомого параметра при = - ... +.
Построим D-разбиение по параметру T4.
Передаточная функция замкнутой системы:
Характеристическое уравнение:
Решим его относительно искомого параметра:
Заменим p на j:
По правилу штриховки штрихуется левая (в направлении возрастания частоты) часть прямой.
При переходе через границу D-разбиения в сторону штриховки, число корней с положительной вещественной частью уменьшается на 1. Значение параметра выбирают на положительной вещественной полуоси в середине области устойчивости. В нашем случае область устойчивости от 0 до бесконечности, поэтому значение параметра может быть любым.
Определим устойчивость дискретной СУ методом Шур-Кона.
Для этого произведем z-преобразование передаточной функции системы.
Зададим период дискретизации:
Домножим на фиксатор нулевого порядка:
Заменим комплексную переменную z на псевдочастоту.
Составим характеристическое уравнение относительно :
Составим определители по Шур-Кону из коэффициентов уравнения.
Составим программу для построения определителей Шур-Кона:
Составим вектор коэффициентов характеристического уравнения:
Вычислим определители:
Так как знаки определителей на четных и нечетных местах не чередуются, дискретная система неустойчива.