3. Обратная матрица. Алгоритм нахождения.

Ответ:

Невырожденная квадратная матрица – это матрица, определитель которой не равен нулю.

Вырожденная квадратная матрица – это матрица, определитель которой равен нулю.

где Е – единичная матрица

Если квадратная матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица А^-1, которая задаётся условием:

Матрица А^* называется союзной к квадратной матрице А, если элементы матрицы А^* равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы А.

=>

Теорема: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Алгоритм нахождения:

4. Применение обратной матрицы для решения систем линейных уравнений, матричные уравнения.

Ответ:

Используя обратную матрицу, можно решить систему линейных уравнений, у которой число уравнений равно числу неизвестных, если detA^-1 ≠ 0.

где X – матрица неизвестных, B – матрица свободных членов.

Обозначим:

, ,

• Матричные ур-я.

При таких обозначениях систему линейных уравнений

Можно записать в матричной форме: или

Если матрица А невырожденная, то решение записывается так:

или

5. Действия над векторами в координатах.

Ответ:

Вектор – это множество всех направлений отрезков, имеющих длину и направление.

- нулевой вектор – вектор, длинна, которого равна нулю.

Расстояние между точками.

Если даны две точки на заданной плоскости, то расстояние между ними (d) вычисляется по формуле:

Деление отрезка в заданном отношении.

Пусть две точки . Возьмем точку , делящую отрезок в отношении

Отсюда:

Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице.

Если

Векторы Эту тройку векторов называют ортонормированным базисом.

Радиус-вектором точки – это вектор , идущий из начала координат. в точку М.

Действия с векторами в координатной форме.

Если даны точки .

Пусть

6. Разложение вектора в базисе, скалярное произведение и его свойства.

Ответ:

Координаты вектора.

Пусть:

х - проекция вектора на ось OX, т.е. х = ОМ₁

y - проекция вектора на ось OY, т.е. y = ОМ₂

z - проекция вектора на ось OZ, т.е. z = ОМ₃

Тогда разложение вектора :

x, y, z – координаты вектора , равны:

Направляющие косинусы.

Направляющие косинусы вектора можно вычислить по формулам:

Свойства скалярного произведения:

1. 

2. 

3. 

4. 

Длина вектора:

Скалярное произведение векторов

7. Уравнения линий второго порядка.

Ответ:

К прямым 2го порядка относятся: окружность, гипербола и парабола.

Общее ур-е 2го порядка:

Окружность – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от точки A(a,b) на расстоянии R.

Каноническое ур-е окружноси:

Эллипс – геометр. место точек, сумма расстояния от каждой из которых до 2х точек той же плоскости F₁ и F₂ (фокусы), есть величина постоянная, равная 2а.

r₁,r₂ – фокальные радиусы точки M(x,y). r₁ + r₂ = 2a

0b – малая площадь

c (0a)- большая площадь

F₁F₂- фокальное расстояние. |F₁F₂|=2a

Каноническое ур-е эллипса:

– эксцентриситет эллипса

Гипербола – геометр. место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F₁ и F₂ (фокусы), есть величина постоянная, равная 2а.

Каноническое ур-е гиперболы:

0b – мнимая площадь

0а – действительная площадь

Пунктирные линии – это асимптоты гиперболы

– эксцентриситет

Парабола – геометр. место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости

r – фокусный радиус.

Каноническое ур-е параболы: