1. Матрицы и действия над ними.

Ответ:

Матрица – прямоугольная таблица чисел, расположенных в n строках и m столбцах. A = (i,j) где i – номер строки, j – номер столбца.

Размерность матрицы – число строк и число столбцов в данной матрице.

Квадратная матрица – матрица, когда у нее число строк и число столбцов равны.

Главная диагональ – диагональ, идущая из верхнего левого до правого нижнего угла.

Побочная диагональ – диагональ, идущая из верхнего правого до нижнего левого угла.

Матрица, у которой все элементы нули называют нулевой матрицей. А = ( 0 0 )

Диагональная матрица – матрица, у которой элементы расположенные вне главной диагонали нули.

Умножение матрицы на число подчиняется следующим законам:

1. -ассоциативный закон относительно числового множества

2. -распределительный (дистрибутивный) закон относительного множества

3. – дистрибутивный закон относительно суммы числовых множителей

Единичная матрица – диагональная матрица, в которой элементы главной диагонали равны 1.

Действия над матрицами.

1. Умножение матрицы на число.

Любую матрицу можно умножить на число.

Для этого каждый элемент матрицы умножается на число.

Свойства сложения матриц:

1. – переместительный(коммуникативный) закон

2. – сочетательный (ассоциативный) закон

3. – где Q-нулевая матрица соответствующего размера

2. Сложение матриц.

Любые две матрицы одних и тех же размеров можно сложить. Получится матрица в точности тех же размеров.

Пусть

А = и

В = , то A+B=

3. Свойства произведения матриц:

   1. - ассоциативность

   2. – ассоциативность по умножению

   3. 

   

   4. – умножение на единичную матрицу

   Умножение матриц.

Матрицу А можно умножать на матрицу В, если количество столбцов А равно количеству строк В.

Пусть , то возможно только если . При этом в результате получится матрица C размерами .

Пусть , то

Так произведение BA существует и равно .

следовательно, умножение матриц некоммутативно, т.е. зависит от порядка сомножителя.

4. Свойства транспонирования:

   1. 3)

   2. 4)

   Транспонирование матрицы.

Транспонирование – это операция над матрицами, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Пусть , то транспонированная матрица .

2. Понятие определителя и его свойства. Вычисление определителя с помощью метода Сарруса.

Ответ:

Квадратная матрица A n-го порядка характеризуется неким числом называемым определителем.

Обозначается: detA

Свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если в нем строки и столбцы поменять местами.

2. Определитель изменит знак, если в нем поменять местами какие-нибудь 2 строки или 2 столбца.

3. Общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за символ определителя.

4. Определитель равен нулю, если элементы двух строк или столбцов пропорциональны.

5. Определитель равен нулю, если он имеет 2 одинаковых строки или 2 одинаковых столбца.

6. Если все элементы некоторой строки или столбца состоят из 2 слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2 определителей, в одном из которых элементами соответствующей строки являются первые слагаемые, во втором - вторые.

7. Если к элементам некоторого столбца или строки определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца или строки, умноженные на общий множитель, то величина определителя не изменится.

Правило Сарруса:

=