2. Установившееся движение несжимаемой жидкости в недеформируемой пористой среде. Приток к стоку и источнику на плоскости и в пространстве

Движение называется плоским, когда элементы движения, скорость и давление, зависят только от одной координаты на плоскости и в любой плоскости, параллельно данной, картина скоростей и давлений будет одинакова. Примерами плоского движения жидкости являются приток к совершенной скважине и приток к галерее.

Движение называется пространственным, когда элементы движения зависят от трех координат: r, z и a – полярного угла. Примером пространственного движения может служить приток к несовершенной скважине. Установившийся фильтрационный поток считается одномерным, если давление (потенциал) является функцией только одной координаты. Существуют три вида одномерного потока: 1) прямолинейно-параллельное движение (приток к галерее в полосообразном пласте, рис. 2.1); 2) плоско-радиальное движение (приток к совершенной скважине, расположенной в центре цилиндрического пласта, рис. 2.2); сферически-радиальный поток (приток к скважине, вскрывшей пласт в кровле пласта большой толщины, рис. 2.6).

2.1. Напорный приток к дренажной галерее. Время движения частиц

Принимается: движение жидкости прямолинейное, жидкость несжимаемая, фильтрация установившаяся. Р₁ и Р₂ – давления в сечениях I и II, причем Р₁>Р₂; h – толщина пласта; В – ширина галереи (см. рис. 2.1).

В соответствии с законом Дарси расход жидкости (нефти) через галерею запишется формулой

(2.1)

Если есть скорость фильтрации, то истинная (действительная) скорость движения u определится согласно (1.13) и (2.1) формулой

(2.2)

Время продвижения частицы жидкости на участке х, очевидно, запишется формулой

(2.3)

Время движения частицы от сечения 1 до сечения 2 определится при х=L, т. е.

(2.4)

Поверхностью депрессии в этом случае является наклонная плоскость АВ (см. рис. 2.1).

Рис.2.1. Схема притока к дренажной галерее

2.2. Плоскорадиальное движение. Приток к совершенной скважине, расположенной в центре кругового пласта

Примем следующие обозначения (рис.2.2):

Если фильтрация происходит через всю цилиндрическую поверхность f=2pr_ch, то скважина называется гидродинамически совершенной по вскрытию. Наша задача определить расход жидкости, закон распределения давления, форму депрессионной поверхности, время движения частицы и форму индикаторной кривой.

Вырежем мысленно элементарную радиальную струйку (см. рис. 2.2). Замечаем, что s=R_к-r, a ds=-dr. С учетом этого закона Дарси в дифференциальной форме запишется как:

(2.5)

Но так как Q=fu=2prhu, то

(2.6)

Рис.2.2. Схема плоскорадиального притока жидкости в пласте

(приток к совершенной скважине)

Н_к — постоянный напор на круговом контуре питания; Н_с — напор на забое скважины; Н — напор в любой точке пласта на расстоянии r от скважины; Р_к, Р_с, Р — приведенные давления на контуре питания, на забое и на расстоянии r соответственно.

Разделяя переменные и интегрируя в соответствующих пределах, получаем

(2.7)

откуда имеем:

(2.8)

Получили уравнения логарифмических кривых. Таким образом, пьезометрическая поверхность АВСД представляет собой поверхность вращения логарифмической кривой относительно оси скважины (см. рис. 2.2).

Интегрируя уравнение (2.7) в пределах от Н_с до Н и от r_с до r, получим другое выражение для распределения давления (напора):

(2.9)

При r=r_c имеем Н=Н_с и Р=Р_с. Тогда из (2.8) следует

. (2.10)

Получили формулы Дюпюи для расхода. Подставляя (2.10) в (2.8), находим:

(2.11)

Таким образом, пьезометрическая поверхность или «воронка депрессии» (см. рис. 2.2) может быть построена по формулам (2.8), (2.9) и (2.11). Заметим, если пьезометрическая поверхность жидкости в пласте выше, чем поверхность земли, то скважина будет фонтанировать. При отсутствии отбора пьезометрическая поверхность занимает положение АД (см. рис. 2.2) и во всех точках пласта давление при этом одинаково. В случае отбора статический уровень в скважине понижается на величину а (см. рис. 2.2) и устанавливается так называемый динамический уровень.

Формулу (2.10) можно записать в виде

Q=КDР=К(Р_к–Р_c), (2.10')

где

(2.12)

Здесь К принято называть коэффициентом продуктивности скважины. Размерность: При DР=1 Па имеем К=Q, т. е. коэффициент продуктивности выражает дебит на 1 Па перепада давления.

Согласно (2.10') зависимость между Q и DР является линейной и графически выражается прямой (рис. 2.3). В практике эта зависимость называется индикаторной диаграммой и снимается она при исследовании скважин методом пробных откачек, т. е. при установившихся отборах. Индикаторная диаграмма характеризует продуктивность скважины, режим фильтрации и помогает устанавливать режим работы скважины.

Рис.2.3. Индикаторная диаграмма "дебит-депрессия" при фильтрации несжимаемой жидкости по линейному закону Дарси