6.6. Интеграл энергии

Расчет скорости КА на круговых и эллиптических орбитах, основывается на законе сохранения энергии, который для центрального поля тяготения выглядит следующим образом

, (6.3)
где - гравитационная постоянная притягивающего центра;

r – радиус-вектор КА на орбите;

a – большая полуось орбиты.

Параметр a, как упоминалось, по определению равен

, где и - радиусы апогея и перигея орбиты.

Для расчета скорости КА удобнее пользоваться следующей формулой, полученной из зависимости (6.3)

. (6.4)

Для расчета скорости на околоземных орбитах часто используют расчетную формулу, в которой присутствует первая космическая скорость. Преобразуем формулу (6.4) к следующему виду

, (6.5)
где

- первая космическая скорость. (6.6)

Гравитационная постоянная Земли равна , средний радиус Земли составляет 6371 км, поэтому нетрудно рассчитать, что первая космическая скорость для Земли составляет 7.91 kм/с.

Тогда из (6.5) можно получить формулы для расчета скорости КА на опорной орбите

. (6.7)

Пример. Определить скорость КА на круговой опорной орбите высотой 200 км.

Решение. По формуле (6.7) имеем

км/с.

6.7. Расчет приращения скорости, необходимой для перевода КА с опорной орбиты на эллиптическую орбиту

Расчет производится с использованием той же зависимости (6.5), но с учетом допущений, что приращение скорости дается мгновенно в точке перигея будущей эллиптической орбиты. При расчете в формулу подставляются соответствующие параметры эллиптической орбиты.

Пример 3. Определить приращение скорости , необходимой для перевода КА с опорной орбиты высотой 200 км на эллиптическую орбиту высотой 36000 км (см. схему, представленную на рис. 6.6.).

Решение. Рассчитаем следующие параметры:

;

км;

км;

км.

Подставляя эти значения в формулу (6.5), получаем

[км/с].

Приращение скорости рассчитывается как разность скорости КА в перигее эллиптической орбиты и скорости КА на круговой опорной орбите, то есть

[км/с].

6.8. Расчет приращения скорости, необходимой для перевода КА
с эллиптической орбиты на высокую круговую орбиту

Расчет, так же как и в предыдущем случае, производится с использованием той же зависимости (6.5) и учетом того, что приращение скорости дается мгновенно в точке апогея эллиптической орбиты (см. схему, представленную на рис. 6.7).

Рис. 6.7 Схема перевода КА с эллиптической орбиты
на высокую круговую орбиту

Искомая добавка скорости определяется как разность между скоростью КА на высокой круговой орбите и скоростью КА в точке апогея эллиптической орбиты.

Пример 4. Определить приращение скорости , которая необходима для перевода КА с эллиптической орбиты на высокую круговую орбиту. Параметры орбит принять такими же, как и в примере 3.

Решение. Рассчитаем сначала скорость полета КА по эллиптической орбите в точке апогея. При этом воспользуемся данными, полученными в примере 3:

[км/с].

Теперь рассчитаем скорость КА на высокой круговой орбите с высотой, соответствующей радиусу апогея эллиптической орбиты.

Расчетная формула будет практически такой же, как и формула (6.7), с той лишь разницей, что вместо радиуса опорной орбиты необходимо подставлять радиус высокой круговой орбиты. Таким образом можно получить следующие результаты:

[км/с].

Тогда приращение скорости , которая необходима для перевода КА на высокую круговую орбиту в точке перигея эллиптической орбиты, будет следующим

[км/с].

6.9. Расчет приращения скорости для изменения плоскости орбиты

Необходимость в изменении плоскости орбиты возникает, например, при запуске КА на геостационарную орбиту с космодрома, который не находится на экваторе. Необходимость в изменении плоскости орбиты может возникнуть из-за ограничения по азимуту пуска ракет-носителей. Например, с космодрома Байконур наклонение орбит составляет 51,6°, что связано с районами падений отработавших ступеней ракет-носителей.

Изменение угла наклона плоскости орбиты проводится путем изменения направления вектора скорости разгонного блока КА. Для этого необходимо сообщить КА приращение импульса скорости. Схема для расчета приращения характеристической скорости, необходимой для изменения плоскости орбиты на угол , представлена на рис. 6.8.

На этой схеме - первоначальный вектор скорости КА, - вектор скорости КА после изменения плоскости орбиты на угол .

Из схемы видно, что для изменения направления вектора скорости на угол (чтобы получить вектор скорости ) необходимо добавить вектор скорости . Из геометрических соотношений нетрудно получить модуль вектора :. (6.8)

Рис. 6.8. Схема для расчета приращения скорости КА,
необходимой для изменения плоскости орбиты

Пример 5. Пусть необходимо изменить плоскость орбиты на 60°. Тогда по формуле (6.8) получаем

.

Из примера видно, что для поворота плоскости орбиты КА на 60 градусов необходимо сообщить КА импульс скорости, равной скорости полета КА на первоначальной орбите.

Для спутников, запускаемых с космодрома Байконур с углом наклона плоскости орбиты 51,6 градусов, приращение скорости для перевода КА в плоскость экватора составит

.

Поэтому запуск спутников на орбиты, лежащие в плоскости экватора, выгоднее производить с космодромов, находящихся на экваторе.

Следует также отметить, что для изменения плоскости орбиты выгоднее всего сообщать космическому аппарату импульс скорости в точке апогея орбиты, так как в этой точке скорость КА минимальна.

На рис. 6.9. приведена схема вывода КА на геостационарную орбиту с космодромов Байконур и Плесецк.

На этом рисунке цифрами 1, 2 и 3 обозначены соответственно опорная орбита, эллиптическая орбита и стационарная орбита; i – угол наклона опорной орбиты и эллиптической орбиты; , и векторы импульсов скорости для перевода КА с опорной орбиты на геостационарную.

Задания

Задача 1. Известно, что в плоскости экватора можно подобрать высоту круговой орбиты, на которой КА как бы будет «зависать» над одной и той же точкой земной поверхности. Найти радиус этой орбиты.

Задача 2. Для обеспечения «космической связи» запускались КА типа «Молния» с сильно вытянутыми эллиптическими орбитами, что обеспечивает их длительное нахждение над северными районами земной поверхности.

а) Найти время полного периода обращения КА, если заданны эксцентриситет и радиус перигея орбиты.

б) Найти время нахождения над северным полушарием Земли, если время полета в южном полушарии определяется по формуле:

, где

.

Значения эксцентриситета е и радиуса перигея выбирать с использование следующих формул:

, где n - номер студента в списке группы.

Для определения большой полуоси орбиты следует восползоваться формулой

,

где и - радиусы апогея и перигея орбиты.

Радиус апогея найти из выражения:

.