1.Перевод комплексного числа из одной формы в другую. Как показано выше, комплексное число можно записать в одной из трех форм:

– алгебраическая форма; – тригонометрическая форма; – показательная форма.Для записи комплексного числа в алгебраической форме необходимо знать его действительную часть a и коэффициент при мнимой единице b. Для тригонометрической и показательной форм – модуль r и аргумент . Поэтому для перевода комплексных чисел из одной формы в другую можно предложить следующие алгоритмы.

А) Перевод из алгебраической формы в тригонометрическую и показательную

7. Построить вектор – геометрическое изображение комплексного числа.

8. Отметить на чертеже острый угол  от вектора до ближайшей к нему части оси Ox и угол  – от положительной части оси Ox до вектора.

9. Вычислить модуль .

10. Вычислить и определить по его значению острый угол .

11. По найденному значению  и чертежу определить аргумент .

12. Подставить найденные значения модуля и аргумента в запись тригонометрической и показательной форм.

Пример. Записать в тригонометрической и показательной формах комплексное число .

Решение.

На чертеже построен вектор и отмечены углы  и .

Модуль .

, значит = 30.

Из чертежа видно, что  = 180 –  = 150. Поэтому .

б) Перевод комплексного числа из тригонометрической формы в алгебраическую

3. Вычислить синус и косинус.

4. Раскрыть скобки.Пример.Записать комплексное число в алгебраической форме.

Р ешение.

в) Перевод комплексного числа из тригонометрической формы в показательную и наоборот. В обеих формах комплексное число определяется модулем и аргументом. Поэтому алгоритм перевода состоит из одного действия:

2. Переписать в нужной форме.Пример.Записать комплексное число в тригонометрической форме.

Решение.Из записи числа видно, что его модуль r = 5 и аргумент  = 200. Поэтому тригонометрическая форма числа имеет вид

г) Перевод из комплексного числа показательной формы в алгебраическую.

Выше описан перевод комплексного числа из показательной формы в тригонометрическую и из тригонометрической в алгебраическую. Поэтому алгоритм имеет вид:1.Выполнить требуемый перевод через тригонометрическую форму.

2. Раскрытие неопределенности. При вычислении некоторых пределов возникает ситуация, которую называют неопределённостью. Например, если f(n) и g(n) при n , то попытка произвести непосредственное вычисление предела приводит к неопределённости . Аналогичным образом появляются неопределённости следующих типов: ; ; ; и т.п. Для того, чтобы раскрыть неопределенность, требуется применить тот или иной технический приём. В частности, неопределённости обычно исчезает после сокращения дроби на множитель, который определяет наибольшую скорость роста численности или (на выбор) знаменателя. Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или .Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем .Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Неопределенность типа Если при вычислении получается неопределенность типа , то можно использовать правило Лопиталя, преобразовав предварительно выражение следующим образом: или же .

Билет 25.

1. Под числовой последовательностью понимается функция , заданная на множестве N натуральных чисел. Обозначается: или , . Число - первый член последовательности, - второй,…., - общий или n член последовательности. Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. Ограниченная последовательность. Последовательность (чисел, точек и т.п.), члены которой образуют ограниченное множество, называется ограниченной. Аналогично последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если ее члены образуют ограниченное сверху (снизу) множество.

2. Формула корней квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом.