4.2 Определение устойчивости по критерию Гурвица

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительными.

По коэффициентам характеристического уравнения:

, (14)

составляется определитель Гурвица.

Для этого по главной диагонали определителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго, затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз с убывающим индексом.

Составленный определитель называется главным определителем Гурвица, он имеет порядок, совпадающий с порядком характеристического уравнения. Из главного определителя составляются частные определители первого, второго, третьего и так далее порядков их образования из главного определителя.

Вычисляя главный определитель и частные определители, Гурвиц установил, для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители были положительны.

(15)

Вычислим миноры в определителе Гурвица:

Все миноры определителя Гурвица больше ноля, следовательно система устойчива.

4.3 Проведение z-преобразования передаточной функции САУ процессом полива газона с дискретным элементом

Z-преобразование проведем по формуле:

, (16)

где и - показатели цифрового преобразования. В рамках курсовой работы принимает их равными 1;

- передаточная функция импульсной системы.

. (17)

Воспользовавшись программным продуктом MathLab можно получить передаточную функцию по приведенной ниже программе:

>> W=tf([0.62 3.875 3.875],[1000 6250 728 0])

Transfer function:

0.62 s^2 + 3.875 s + 3.875

---------------------------

1000 s^3 + 6250 s^2 + 728 s

>> W=c2d(W,1.5)

Transfer function:

0.00141 z^2 - 0.0001203 z + 1.268e-005

--------------------------------------

z^3 - 1.837 z^2 + 0.837 z - 8.482e-005

Sampling time: 1.5

Таким образом итоговое z-преобразование будет выглядеть следующим образом:

.

Определим устойчивость полученной импульсной системы по критерию Шур-Кона. Для устойчивости импульсной системы необходимо, чтобы коэффициенты характеристического уравнения были положительны:

В нашем случае характеристическое уравнение:

. (18)

В характеристическом уравнении есть отрицательный коэффициент, следовательно, импульсная система не устойчива.

Проверим условия:

Составим определители Шур-Кона.

Посчитаем нечетные миноры матрицы. Для того, что бы система была устойчивой, чтобы нечетные миноры матрицы Шур Кона были меньше нуля, либо четные миноры матрицы были больше нуля.

Посчитав миноры в MathCAD, получили: , , , .

Таким образом, по критерию Шур-Кона получаем, что данная дискретная система устойчива.

Построим переходный процесс цифровой системы.

t, c

h(t)

Рисунок 7 – Переходный процесс дискретной САУ процессом полива газона

По данному рисунку видно, что переходный процесс сходящийся, что в некоторой степени свидетельствует о том, что дискретная система также является устойчивой, и нет необходимости в коррекции рассматриваемой дискретной CАУ процессом полива газона.