3. Исследование системы на устойчивость и ее анализ

Для определения устойчивости системы построим переходный характеристику разомкнутой системы, для этого передаточную функцию разомкнутой системы подвергнем обратному преобразованию Лапласа, чтобы перейти от оператора р к параметру времени t.

Передаточная функция разомкнутой системы равна:

проведем преобразование и получим:

(28)

По полученному значению строим график, который изображен на рисунке 5.

Рисунок 5 – Переходная характеристика системы

Определим качество системы:

Из графика видно, что данная система является неустойчивой.

Поэтому зададимся параметрами которой должна обладать новая скорректированная система:

• перерегулирование =20%-30%

• время перегулирование должно быть не больше t_p=1,5 с.

4. Построения лачх и лфчх системы

Для того, чтобы построить ЛАЧХ системы запишем передаточную функцию системы через псевдочастоты:

С помощью программы Mathcad построим по заданной передаточной функции ЛАЧХ и ЛФЧХ. График ЛАЧХ изображен на рисунке 6, а график ЛФЧХ – на рисунке 7.

Рисунок 6 – ЛАЧХ системы.

Рисунок 7 – ЛФЧХ системы.

5. Построения желаемой лачх системы

Желаемую ЛАЧХ разделяют на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную составляющие. Низкочастотная часть определяет статическую точность системы – точность в установившихся режимах.

Среднечастотная является наиболее важной, так как она определяет устойчивость, а следовательно качество переходных процессов.

После построения переходной характеристики системы мы задались следующими параметрами для вычисления корректирующего устройства.

• перерегулирование =25%

• время перегулирование должно быть не больше t_p=1,5 с.

По номограмме Солодовникова [4] находим частоту среза из =25%

1. найдем частоту среза по формуле

(29)

где К - коэффициент, определяемый из данной номограммы.

При заданном значении перерегулирования данный коэффициент равен:

К=0,5

Тогда частота среза равна

(30)

2. определяем среднечастотную область, для этого находим частоты, ограничивающие эту область, которая является рабочей.

(31)

найдем коэффициент а₂ по номограмме:

(32)

тогда частоты равны:

(33)

(34)

3. через частоты и проводим вертикальные асимптоты, а затем через частоту среза проводим линию с наклоном (-20 дБ/дек).

4. Построим желаемую ЛАЧХ на одном графике с ЛАЧХ системы (смотри рисунок 8).

Рисунок 8 – Желаемая ЛАЧХ.

6. Корректирующее устройство

Построим ЛАЧХ корректирующего устройства

(35)

Согласно построенному графику (8) проводим синтез корректирующего устройства. ЛАЧХ корректирующего устройства и ЛАЧХ желаемая, ЛАЧХ системы изображены на рисунке 9.

Рисунок 9 – ЛАЧХ корректирующего устройства.

7. Построение переходной характеристики скорректированной системы

Для проверки правильности выбранного корректирующего устройства необходимо включить последовательно после микропроцессора корректирующее устройство – это позволит добиться необходимых параметров и сделать систему более устойчивой.

Рисунок 10 – Функциональная схема с корректирующим устройством.

При анализе рисунка 9 найдена передаточная функция корректирующего устройства, преобразовав ее обратно от псевдочастоты к оператору р получим:

(36)

Теперь найдем передаточную функцию разомкнутой системы:

(37)

Данную передаточную функцию преобразуем с помощью преобразования Лапласа в переходную характеристику. Построим переходную характеристику (смотри рисунок 11).

Рисунок 11 – Переходная характеристика скорректированной системы.

Качество системы определяем из построенного графика:

• установившаяся ошибка:

• установившееся значение переходного процесса:

• время переходного процесса:

• перерегулирования: