- •Преобразование Лапласа
- •Нахождение изображений
- •Теоремы подобия, смещения, запаздывания
- •Поиск изображения по графику оригинала
- •Отыскание оригинала по изображению
- •Дифференцирование оригиналов и изображений
- •Интегрирование оригиналов и изображений
- •Свертка функций
- •Решение дифференциальных уравнений
- •Решение систем дифференциальных уравнений
- •Решение интегральных уравнений
Решение интегральных уравнений
Интегральными уравнениями называют такие уравнения, в которых неизвестная функция y(t) стоит под знаком интеграла.
В некоторых случаях такие уравнения также могут быть решены средствами операционного исчисления. К таким уравнениям относятся, например, уравнения Вольтерра первого и второго рода, имеющие соответственно вид
, ( 20 )
. ( 21 )
Интеграл, стоящий здесь, представляет собой сверку функций g(t) и y(t), что облегчает решение этих интегральных уравнений операционным методом. Пусть и . Пользуясь свойствами умножения изображений и линейностью, получим изображающие уравнения
, .
Отсюда находим неизвестное изображение F(p)
, ,
по которому восстанавливаем искомую функцию y(t).
Пр. 22 Решить интегральное уравнение .
Решение. Левая часть уравнения есть свертка функций y(t) =: F(p) и =: . Учитываем, что t =:, и переходим к изображению уравнения. F(p)= F(p) = = =: 1- t = y(t) – решение уравнения.
Проверка: = = (-1 +) - (-1 - t +) = t .
Устные экзаменационные вопросы
-
Какие требования предъявляются к функции – оригиналу?
-
Дать определение преобразования Лапласа.
-
Почему преобразование Лапласа обладает свойством линейности?
-
Прочитать теорему подобия.
-
Прочитать теорему запаздывания.
-
Прочитать теорему смещения.
-
Теорема о дифференцировании оригинала.
-
Теорема о дифференцировании изображения.
-
Теорема об интегрировании оригинала.
-
Теорема об интегрировании изображения.
-
Определение свертки функций и её главное свойство.
-
Какое преимущество дает операционное исчисление при решении дифференциальных уравнений?
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Кафедральные, базовые, опорные конспекты лекций
Авторский коллектив: Арсланов Ф.Х. , Гарифьянов Ф.Н. , Гимадиев Р.Ш. , Григорян С.А. , Желифонов М.П. , Никитин А.С. , Хамзин А.А.
Кафедра «Высшей математики» КГЭУ
2006 г.