2. Похибка чисельного диференціювання

Похибкою наближення похідної називається величина

,

яка характеризує відхилення наближеного значення похідної від її істинного значення.

При чисельному диференціюванні функції, заданої таблично, з рівновіддаленими вузлами з кроком , ця похибка залежить від і її записують в вигляді

де .

Розглянута похибка є похибкою методу. Якщо крок , то похибка методу прямує до нуля. Крім похибки методу, у похибку результату входить неусувна похибка (зумовлена неточністю табличних даних), а також похибки округлень проміжних результатів.

Оптимальний крок диференціювання, при якому похибка буде мінімальною, може бути визначений за формулою:

,

де – величина, яку не перевищують абсолютні похибки табличних значень функції.

3. Чисельне інтегрування. Поняття про квадратурні формули.

Якщо для визначеної і неперервної на відрізку функції відома первісна , то визначений інтеграл можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца:

,

де .

Проте при розв’язуванні ряду актуальних технічних задач зустрічаються визначені інтеграли від функцій, первісні яких не виражаються через елементарні функції, або є дуже складними. Крім того, на практиці підінтегральна функція часто не є елементарною (наприклад, задається таблично) і тоді саме поняття первісної втрачає зміст. Це приводить до необхідності розробки наближених методів обчислення визначених інтегралів.

Чисельне інтегрування – це обчислення значення визначеного інтеграла через ряд значень підінтегральної функції та її похідних.

Оскільки знаходження числового значення визначеного інтеграла від невід’ємної функції з геометричної точки зору означає обчислення площі криволінійної трапеції (її квадратури), обмеженої графіком функції і прямими , , , то формули для наближеного обчислення визначеного інтеграла називаються квадратурними.

Ідея чисельного інтегрування полягає в тому, що задана крива замінюється новою лінією, "близькою" до заданої. Тоді шукана площа криволінійної трапеції наближено дорівнює площі фігури, обмеженої зверху цією лінією.

4. Найпростіші квадратурні формули

Для побудови квадратурних формул, так само як і для формул чисельного диференціювання, можна використати інтерполяційний многочлен, а саме: підінтегральну функцію на відрізку інтегрування замінити інтерполяційним многочленом і вважати, що інтеграл від інтерполяційного многочлена наближено дорівнює інтегралу від заданої функції:

(7)

Виберемо на відрізку інтегрування точки . Побудуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа, значення якого в заданих точках дорівнюють значенням підінтегральної функції:

,

де .

Підставивши в (7) вираз для многочлена Лагранжа, дістанемо таку квадратурну формулу:

, (8)

де

(9)

Квадратурна формула (8), коефіцієнти якої виражаються формулами (9), називаються інтерполяційною. Права частина (8) називається квадратурною сумою. В залежності від способу її обчислення отримують різні методи чисельного інтегрування (квадратурні формули) – прямокутників, трапецій, парабол та інші