4 Исследование устойчивости системы

Структурная схема системы имеет следующий вид:

Рисунок 8 – Структурная схема системы регулирования наклона.

Передаточные функции блоков имеют вид

, (40)

, (41)

, (42)

Передаточная функция прямой цепи

; (43)

; (44)

. (45)

Передаточная функция разомкнутой системы

; (46)

. (47)

Передаточная функция замкнутой системы

, (48)

. (49)

Корни характеристического уравнения

(50)

имеют вид -1,0012; -0,8910; -0,1786; -0,0467; -0,0141.

Известно, что при отрицательных вещественных частях характеристического уравнения система устойчива, следовательно, система W_z устойчива.

Годограф Найквиста для разомкнутой системы представлен на рисунке 9.

Рисунок 9 – Годограф Найквиста для нескорректированной системы.

Разомкнутая система обладает астатизмом первого порядка, следовательно началом годографа принимается точка (,0). Годограф не охватывает точку (-1;0), следовательно замкнутая система устойчива.

Передаточная функция замкнутой системы с учетом дискретности (T₀=0,05c) и фиксатором нулевого порядка имеет вид

. (51)

Нули характеристического уравнения имеют вид 0,93188; 0,7916; 0,4092; 0,0116; 0,0066.

Нули характеристического уравнения по модулю меньше 1, следовательно замкнутая дискретная система устойчива.

Передаточная функция разомкнутой системы с учетом дискретности и фиксатора нулевого порядка имеет вид

(52)

Проведем  - преобразование, z = (1+) / (1-).

(53)

Сделав замену =0,5T₀s, где T₀ = 0,05 с – период дискретности, получим

, (54)

что соответствует выражению

. (55)

Частоты среза

0,05 Гц = -20 дБ/дек; log(0,05)=-1,3;

6,807 Гц = -20 дБ/дек; log(6,807)=0,833;

15,96 Гц = -20 дБ/дек; log(15,96)=1,2;

40 Гц = -40 дБ/дек; log(40)=1,602;

40,36 Гц = +20 дБ/дек; log(40,36)=1,605;

45,11 Гц = +20 дБ/дек; log(45,11)=1,654;

147 Гц = +40 дБ/дек; log(147)=2,167;

156,5 Гц = +20 дБ/дек; log(156,5)=2,194.

По полученной передаточной функции строим ЛАЧХ системы от псевдочастоты .

Рисунок 10 – ЛАЧХ и ЛФЧХ нескорректированной системы.

Запасы устойчивости: по амплитуде = 21,5 дБ, по фазе 78,7.

Переходный процесс замкнутой нескорректированной системы с учетом дискретности приведен на рисунке 11.

Рисунок 11 – Переходный процесс нескорректированной системы.

Время переходного процесса 3,12с, что не удовлетворяет техническому заданию, следовательно требуется коррекция.

5 Построение жлачх

Построение ЖЛАЧХ начинаем с построения запретной зоны, геометрия которой определяется положением рабочей точки.

Абсцисса рабочей точки

(56)

выраженная в псевдочастоте принимает значение

; . (57)

Ордината рабочей точки

(58)

Через эту точку проводим низкочастотную асимптоту с наклоном минус 20Бд/дек и высокочастотную с наклоном минус 40 дБ/дек.

Рисунок 12 – ЛАЧХ нескорректированной системы и желаемая ЛАЧХ.

Построение среднечастотной асимптоты ЖЛАЧХ начинают с выбора частоты среза. По номограмме Солодовникова определим частоту среза используя заданное время регулирования t_р и значение перерегулирования 

, (59)

. (60)

Среднечастотная асимптота ЖЛАЧХ проводится через точку _cр с наклоном –20 дб/дек, который обеспечивает необходимый запас по фазе. Протяженность h среднечастотной асимптоты устанавливается исходя из необходимого запаса устойчивости. Из этих же соображений выбирается ее сопряжение с низкочастотной асимптотой.

Показатель колебательности M характеризует склонность системы к колебаниям. Чем больше М, тем меньше запас устойчивости системы.

(61)

Границы среднечастотной асимптоты

(62)

(63)

Используя полученные данные строим желаемую характеристику, обеспечивающую необходимые показатели качества системы. Через частоту среза проводится среднечастотная асимптота с наклоном –20 дб/дек, высокочастотная часть системы мало влияет на устойчивость, поэтому ее достроим эквидистантно к высокочастотной части ЛАЧХ неизменяемой части системы.

Передаточная функция ЖЛАЧХ

(64)

Определим запасы устойчивости скорректированной системы

Рисунок 13 – Запасы устойчивости ЖЛАЧХ.

Запасы устойчивости: по амплитуде = 10,5 дБ, по фазе 36,4.

Переходный процесс замкнутой скорректированной системы показан на рисунке 14.

Рисунок 14 – Переходный процесс скорректированной системы.

Время регулирования 1,94 c.

Перерегулирование 19%.

Колебательность: 1.

Коррекция проведена успешно, система удовлетворяет техническому заданию.