4.2 Определение устойчивости по критерию Гурвица

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительными.

По коэффициентам характеристического уравнения составляются коэффициенты Гурвица.

Характеристическое уравнение имеет вид:

(23)

Определитель Гурвица составляется следующим образом: по главной диагонали определителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго, затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз с убывающим индексом.

Составленный определитель называется главным определителем Гурвица, он имеет порядок, совпадающий с порядком характеристического уравнения. Из главного определителя составляются частные определители первого, второго, третьего и так далее порядков их образования из главного определителя.

Вычисляя главный определитель и частные определители, Гурвиц установил, для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители были положительны.

Вычислим миноры в определителе Гурвица:

;

;

;

;

;

Так как все миноры определителя Гурвица положительны, следовательно, система устойчива.

4.3 Проведение z-преобразования передаточной функции импульсной

системы автоматического управления

Z-преобразование проведем по формуле:

, (24)

где и - показатели цифрового преобразования. В рамках курсовой работы

принимаем их равными 1;

W(p) - передаточная функция импульсной системы.

Воспользовавшись программным продуктом MatLab, получим передаточную функцию (25):

Определим устойчивость полученной импульсной системы по критерию Шур-Кона. Для того, чтобы система была устойчивой, нужно чтобы нечетные миноры матрицы Шур Кона были меньше нуля, либо четные миноры матрицы были больше нуля, или все корни характеристического уравнения должны находится в единичной окружности.

В нашем случае характеристическое уравнение имеет вид:

= 0. (26)

Корни характеристического уравнения, найденные с помощью программы MathCad:

В результате получили, что все корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности, следовательно, система устойчива.

С помощью программы MathCad построим переходный процесс. Из переходного процесса, представленного на рисунке 7 определим прямые оценки качества системы:

h_уст=1.9·10¹³ – установившееся состояние переходного процесса;

h_max=4.9·10¹³ – максимальное значение переходного процесса;

t_р= 63 с – время регулирования;

- перерегулирование.

Так как расхождение полученных прямых оценок качества импульсной системы составляет более 5% от прямых оценок исходной системы, то система требует коррекции.

×10¹³

5

h_max

4

h(t)

3

2

h_уст

1

t_max

t_перех

30 60 90 120 150 180 140

t, c

Рисунок 7 – Переходный процесс импульсной САУ смешивания растворов