4.4 Оценка устойчивости дискретной системы

Поскольку в системе присутствует дискретный элемент (микропроцессор), необходимо провести z-преобразование передаточной функции системы и по z-изображению оценим устойчивость. Формула Z-преобразования:

.

Z-преобразования проведем с помощью программы Matlab, задав время дискретизации, равного времени опроса датчика: T=0.7 с.

Определим устойчивость импульсной системы с помощью критерия Шур-Кона. В соответствии с критерием Шур-Кона система будет устойчивой, если определители Δ_k больше 0 для четных k и определители Δ_k меньше 0 для нечетных k.

Общий вид определителей:

где k=1,2,…,n;

а₁, а₂,…,а_n – значения коэффициентов характеристического уравнения;

a₁^*,a₂^*,…,a_n^* – сопряженные значения коэффициентов а₁, а₂,…,а_n.

Определители Шур-Кона составляются из коэффициентов характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

Для характеристического уравнения обозначим:

a₀= 1, a₁= 0.02875, a₂= 0.002295, a₃=0.000002354.

Для определения устойчивости импульсной системы по критерию Шур-Кона составим определители и произведем расчет определителей для характеристического уравнения третьего порядка.

.

Все определители соответствуют критерию устойчивости Шур-Кона, следовательно, система устойчивая.

Построим переходный процесс импульсной системы с помощью программы MATLAB.

>> w=tf([18 0.4601 0.02068],[1 0.02875 0.002295 0.000002354])

>> step(w)

Переходный процесс импульсной системы имеет следующий вид (рисунок 8):

10

20

0

0.2

0.025

0.05

0.1

h(t)

16

18

14

12

8

6

4

2

0.075

0.125

0.15

0.175

t, с

Рисунок 8 – График переходного процесса импульсной системы

По полученному переходному процессу определим характеристики:

– установившееся значение переходного процесса h_уст = 18;

– максимальное значение переходного процесса: h_max = 18.1;

– время первого согласования t₁ = 0.036 c;

– время регулирования t_р = 0.018 c;

– перерегулирование:

.

Вывод: применение микропроцессора увеличило быстродействие системы, о чем свидетельствует уменьшение времени регулирования t_р = 0.018 c, тем самым сделало ее работу стабильнее и устойчивее.

5 ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ

И ФАЗОЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ И ИХ АНАЛИЗ

Построим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) САУ движением век терминатора. Для этого разомкнем структурную схему по главной обратной связи. Структурная схема разомкнутой системы представлена на рисунке 9.

Рисунок 9 – Структурная схема разомкнутой системы автоматического

управления движением век терминатора

Передаточную функцию разомкнутой системы найдем по формуле:

.

.

Упростим передаточную функцию с помощью программы

Mathcad:

.

Проведем z-преобразование передаточной функции разомкнутой системы, используя программу MATLAB. Время дискретизации возьмем равным 0.7 с.

>> w=tf([1.008],[0.0002 0.03 1])

>> w1=c2d(w,0.7,'zoh')

Далее необходимо перейти к псевдочастоте, осуществив биполярные преобразования. Для этого производится замена:

.

А затем перейдем от ω-изображения к передаточной функции от псевдочастоты, сделав подстановку:

,

где Т₀=0.7 с – период дискретизации системы.

Такой период дискретизации был выбран с учетом приемлемой скорости опроса датчика микропроцессором.

Используя возможности программы MathCad, выполним вышеперечисленные преобразования, тогда получим:

.

Построим ЛАЧХ по полученной передаточной функции по псевдочастоте в программе MathLab.

>> w=tf([24.588 -15140.8 4011680],[-879 124304 3979200])

>> bode(w)

Н

10

а рисунке 10 представлены графики ЛАЧХ и ЛФЧХ, построенные с помощью команды bode(w).

А, дБ

φ,°

0

-10

-20

-30

-40

360

315

270

180

10⁰

10¹

10²

10³

10⁴

λ, с^-1

225

Рисунок 10 – ЛАЧХ и ЛФХЧ системы

Определим запасы устойчивости по амплитуде и по фазе с помощью функции Minimum Stability Margins в программе MathLab.

Запас устойчивости по амплитуде – величина в децибелах, на которую надо увеличить коэффициент усиления, чтобы привести систему к границе устойчиво­сти. Запас устойчивости по фазе – это угол, на который надо уменьшить фазо-частотную характеристику, чтобы её значение равнялось .

Н

10

а рисунке 11 представлены графики запасов устойчивости по амплитуде и по фазе. Из графиков видно, что запас устойчивости по амплитуде дБ и запас устойчивости по фазе Δφ = 173°.

А, дБ

φ, °

10⁰

10¹

10²

10³

10⁴

0

-10

-20

-30

-40

360

315

270

225

180

λ, с^-1

Рисунок 11 – Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе

Вывод: из ЛАЧХ и ЛФЧХ можно судить, что в рассматриваемой системе существуют запас по амплитуде (31.1 дБ) и запас по фазе (173°). Это свидетельствует о том, что при переходе к псевдочастоте система осталась устойчива, а значит, она будет работать корректно. Но так как система не отрабатывает среднечастотную и высокочастотную области, необходимо провести частотную коррекцию системы для улучшения ее работы.

6 ПОСТРОЕНИЕ ЖЕЛАЕМОЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДО-

ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ, ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ

АМПЛИТУДО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО

УСТРОЙСТВА

Желаемой называют асимптотическую ЛАЧХ разомкнутой системы, имеющей желаемые (требуемые) статические и динамические свойства. Строится желаемая ЛАЧХ на основании требований к системе. Низкочастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы определяет статические свойства. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет передаточный коэффициент k и порядок астатизма υ, удовлетворяющий требованиям, то низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ является низкочастотной асимптотой неизменной части системы.

Среднечастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы и её сопряжение с низкочастотной определяют динамические свойства системы – устойчивость и показатели качества переходной характеристики. Построение среднечастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ начинают с выбора частоты среза ω_c. Для этого используют номограмму В.В. Солодовникова. Она определяет зависимость перерегулирования и времени регулирования от максимума вещественной частотной характеристики замкнутой системы, причем время регулирования дано в виде в виде функции частоты среза ω_c. По заданному значению перерегулирования σ определяют значение . Затем по определяют соотношения между и ω_c.

Высокочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ (ЖЛАЧХ) мало влияет на свойства системы. Поэтому ее выбирают так, чтобы корректирующее устройство было возможно более простое. Это достигается при совмещении высоко-частотных асимптот характеристик L_ж(ω) и . Если совмещение не удается, то высокочастотная асимптота L_ж(ω) должна иметь тот же наклон, что и высокочастотная асимптота .

Так как система является дискретной, то необходимо определить запретную зону, для этого найдем рабочую точку:

А ,

где – скорость изменения выходного сигнала;

– ускорение изменения выходного сигнала;

– точность прохождения сигнала (допустимая ошибка).

(рад/с);

q''=0.001 (рад/с²);

.

Значение частоты рабочей точки:

(с^-1).

Расчет ординаты рабочей точки:

(дБ).

Таким образом, рабочая точка: А(0.1;14).

Через полученную точку проводим прямую с наклоном –20 дБ/дек. Эта прямая является верхней границей запретной зоны.

По номограмме Солодовникова (рисунок 12) по заданным в техническом задании желаемому перерегулированию и времени регулирования t_p=0,5 c определяем частоту среза.

Времени регулирования определяется по формуле:

Выразим из формулы для времени регулирования переменную ω_c:

(с^-1).

Примем значение колебательности М=1,3.

Рисунок 12 – Номограмма Солодовникова

Перейдем к псевдочастоте:

.

Выразим из данного выражения переменную λ:

,

где Т₀=0.7 с – период дискретизации.

(с^-1).

По заданной колебательности М=1,3 найдем среднечастотную область построения ЖЛАЧХ. Границами для амплитуды этой области соответствуют значения:

А_{ср max}=12 (дБ);

А_{ср min}=-5 (дБ).

На рисунке 13 представлена реальная, аппроксимированная, желаемая логарифмическая амплитудо- и фазочастотная характеристики корректирующего устройства.

,

дБ

λ, с^-1

ЛАЧХ

ЖЛАЧХ

ЛАЧХ КУ

Рисунок 13 – Реальная, аппроксимированная, желаемая ЛАЧХ и ЛАЧХ

корректирующего устройства

Наклон ЖЛАЧХ в среднечастотной области должен быть -20 дБ/дек, через частоту среза в этой области проводим прямую с наклоном -20 дБ/дек. В высокочастотной области ЖЛАЧХ сопрягается с исходной ЛАЧХ, то есть будет иметь такие же наклоны. Низкочастотная область не имеет большого значения, поэтому достраивается произвольно, в данном случае – с тем же наклоном, что и ЛАЧХ для упрощения корректирующего устройства.

Построить ЛАЧХ корректирующего устройства можно с помощью графического вычитания реальной ЛАЧХ из желаемой ЛАЧХ.