4 Расчет устойчивой системы

Преобразуем функциональную схему, представленную в соответствии с рисунком 1, в структурную схему на основе передаточных функций полученных в пункте 2. Структурная схема локальной системы регулирования температурой пара в паротурбинной установке представлена на рисунке 5.

1

2

Рисунок 5 – Структурная схема локальной системы регулирования температурой пара в паротурбинной установке

Передаточная функция микропроцессора:

W₀(p)=1,

Передаточная функция подогревателя:

Передаточная функция котла:

Передаточная функция пароперегревателя:

Передаточная функция турбины:

Передаточная функция конденсатора:

Передаточная функция питательного насоса:

Передаточная функция конденсаторного насоса:

Передаточная функция питательного бака:

Передаточная функция термопары:

Преобразуем структурную схему. Перенесем сумматор 1 через элемент W₁(p) и поменяем его местами с сумматором 2.

Рисунок 6 – Структурная схема с перенесенным сумматором

Найдем общую передаточную функцию с помощью программы MathCad.

(46)

,

(47)

Общая передаточная функция находиться следующим образом:

(48)

Определим устойчивость системы по критерию Гурвица. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все миноры определителя Гурвица были положительными.

Характеристического уравнения системы из имеет вид:

(49)

Коэффициенты характеристического уравнения:

Все коэффициенты характеристического уравнения положительные. Значит, необходимое условие устойчивости выполняется.

Составим определитель Гурвица. Для этого по главной диагонали определителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с первого, затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз с убывающим индексом. Из главного определителя составляются частные определители, начиная с первого порядка до порядка характеристического уравнения.

Главный определитель имеет вид:

(50)

Определим значения всех миноров:

Построим переходный процесс. Для того чтобы построить переходный процесс, используем обратное преобразование Лапласа от функции вида :

, (51)

Используя прикладную программу MathCAD, найдем вид переходной функции:

Построим график переходного процесса с помощью программы MathCAD:

Рисунок 7 – График переходного процесса системы регулирования паротурбинной установкой

Определим прямые оценки качества системы:

• время первого согласования t_с – время, за которое переходный процесс первый раз достигает значения установившегося состояния, t_с=238 с;

• время нарастания регулируемой величины – время, при котором выходная величина достигает своего максимального значения,с;

• время переходного процесса t_р – время регулирования системы, которое определяется как интервал времени от момента приложения какого-либо воздействия до времени вхождения в пяти процентную трубку (). Определяет быстродействие системы, t_р=892 с. По техническому заданию t_р=900 с, следовательно, истинное время регулирования отклоняется на 0,89% от заданного;

• установившееся состояние переходного процесса h_уст=211;

• перерегулирование По техническому заданию, следовательно, истинное перерегулирование совпадает с заданным.

Построим амплитудно-частотную характеристику.

Амплитудно-фазовая характеристика – отношение выходной величины системы к входной величине.

Амплитудно-частотная характеристика – модуль амплитудно-фазовой характеристики или отношение амплитуды выходной величины системы к амплитуде входной величины.

Найдем амплитудно-частотную характеристику системы. Амплитудно-частотная характеристика вычисляется по формуле:

(52)

. (53)

Заменим в общей передаточной функции р = i∙ω с помощью программы MathCAD. Получим:

График амплитудно-частотной характеристики имеет вид, представленный на рисунке 8.

Определим косвенные оценки качества:

• амплитуда при нулевой частоте, А₀=50;

• максимальная амплитуда, А_max=75;

• резонансная частота определяется как частота, при которой АЧХ достигает максимального значения A_max, ;

• частота среза, ω_ср=0,05;

• полоса пропускания – время наилучшего прохождения сигнала по системе. Для ее определения вычисляется величина , тогда полоса пропускания будет от ω₁ =0,0034 до ω₂ =0,0127;

• показатель колебательности .

Рисунок 8 – График амплитудно-частотной характеристики системы регулирования паротурбинной установкой

Выделим в структурой схеме изменяемую и неизменяемую части системы автоматического управления. Изменяемая часть состоит из ЭВМ, в состав которой входят микропроцессор, АЦП. Неизменяемая часть состоит из котла, подогревателя, пароперегревателя, турбины, конденсатора, питательного и конденсаторного насосов, питательного бака, термопары .

Проведем Z – преобразования, используя прикладную программу MatLab:

>> w=tf([8*10^7 4.06*10^8 6.83*10^8 3.89*10^8 1.96*10^7 3.14*10^4],[4.19*10^10 2.5*10^11 5.5*10^11 5.65*10^11 2.73*10^11 5.95*10^10 5.05*10^9 1.76*10^8 6.45*10^6 1.001*10^5 147])

>>w1=c2d(w,5,'zoh'),

где w – переходная функция непрерывной системы,

w1 – переходная функция дискретной системы,

5 – период дискретизации, соответствующий характеристикам системы;

'zoh' - соответствует применению экстраполятора нулевого порядка.

Получим следующую передаточную функцию, записанную в MathCad:

Определим устойчивость импульсной системы с помощью критерия Шур-Кона. В соответствии с критерием Шур-Кона будет устойчивой, если определители Δ_к больше 0 для четных к и определители Δ_к меньше 0 для нечетных к.

Определители Шур-Кона составляются из коэффициентов характеристического уравнения.

Общий вид определителей имеет вид:

(54)

где к=1,2,…,n;

а₁, а₂,…,а_n - значения коэффициентов характеристического уравнения;

a₁^*,a₂^*,…,a_n^* - сопряженные значения коэффициентов а₁, а₂,…,а_n.

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

(55)

Коэффициенты характеристического уравнения:

Составим определители Шур-Кона:

,

_,

,

_,

,

_,

,

_,

,

.

_{Первые пять определителей соответствуют критерию устойчивости Шур-Кона, следовательно система устойчивая.}

_{Построим переходный процесс импульсной системы с помощью программы MatLab.}

>> w=tf([8*10^7 4.06*10^8 6.83*10^8 3.89*10^8 1.96*10^7 3.14*10^4],[4.19*10^10 2.5*10^11 5.5*10^11 5.65*10^11 2.73*10^11 5.95*10^10 5.05*10^9 1.76*10^8 6.45*10^6 1.001*10^5 147])

>> w1=c2d(w,5,'zoh'),

_{>> step(w1).}

_{Переходный процесс импульсной системы имеет следующий вид:}

_{Рисунок 9 – Переходный процесс импульсной локальной системы регулирования паротурбинной установки}

Определим прямые оценки качества системы:

• время первого согласования t_с – время, за которое переходный процесс первый раз достигает значения установившегося состояния, t_с=238 с;

• время нарастания регулируемой величины – время, при котором выходная величина достигает своего максимального значения,

• время переходного процесса t_р – время регулирования системы, которое определяется как интервал времени от момента приложения какого-либо воздействия до времени вхождения в пяти процентную трубку (). Определяет быстродействие системы, t_р=892 с. По техническому заданию t_р=900 с, следовательно, истинное время регулирования отклоняется на 0,89% от заданного;

• установившееся состояние переходного процесса h_уст=211;

• перерегулирование По техническому заданию следовательно, истинное перерегулирование совпадает с заданным.

По результатам расчетов данного пункта можно сделать вывод, что время регулирования t_р=892 с отклоняется от заданного на 0,89%, а перерегулирование =30% равно заданному. Следовательно, параметры данной локальной системы регулирования паротурбинной установкой удовлетворяют значениям приведенным в техническом задании. Таким образом введение корректирующих устройств не требуется.

5 ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЕЕ АНАЛИЗ

Логарифмическую амплитудно-частотную характеристику системы в данном случае необходимо строить по передаточной функции замкнутой системы.

П

W₂₂(p)

реобразуем структурную схему, представленную на рисунке 5. Перенесем узел 2 через элемент W₄(р) и поменяем его местами с узлом 1.

W₁₁(p)

Рисунок 10 – Структурная схема с перенесенным узлом

В нашем случае ЛАЧХ и ЛФЧХ системы строится по замкнутой системе.

Найдем общую передаточную функцию системы:

(56)

(57)

Общая передаточная функция находиться следующим образом

(58)

Перейдем к z – форме с помощью программы MatLab.

>> w=tf([8*10^7 4.06*10^8 6.83*10^8 3.89*10^8 1.96*10^7 3.14*10^4],[4.19*10^10 2.5*10^11 5.5*10^11 5.65*10^11 2.73*10^11 5.95*10^10 5.05*10^9 1.76*10^8 6.45*10^6 1.001*10^5 147]),

>> w1=c2d(w,5,'zoh').

Запишем общую передаточную функцию, зависящую от z в пакете прикладных программ MathCad.

Перейдем к билинейным преобразованиям с помощью программы MathCad, сделав подстановку:

,

где .

Перейдем к псевдочастоте, сделав подстановку с помощью программы MathCad, сделав подстановку:

где Т – период дискретизации.

Построим ло­гарифмические характеристики неизменяемой части системы, применяя редак­тор MATLAB.

>> w=tf([8*10^7 4.06*10^8 6.83*10^8 3.89*10^8 1.96*10^7 3.14*10^4],[4.19*10^10 2.5*10^11 5.5*10^11 5.65*10^11 2.73*10^11 5.95*10^10 5.05*10^9 1.76*10^8 6.45*10^6 1.001*10^5 147]),

>> w1=c2d(w,5,'zoh'),

>> bode(w1).

ЛАЧХ и ЛФЧХ представлены на рисунке 11.

Проведем анализ полученных графиков. Система устойчива, так как при φ = -180⁰ на ЛФЧХ L меньше 0 на ЛАЧХ.

Запас устойчивости по фазе: Δφ = 60⁰.

Запас устойчивости по амплитуде:

ΔL = 30 дБ,

30=20lgА,

lgA= 1,5,

А=10^1,5=31,6.

1

2

1 –ЛАЧХ; 2 – ЛФЧХ.

Рисунок 11 – ЛАЧХ и ЛФЧХ локальной системы регулирования

Значения запасов по амплитуде А=31,6 и по фазе Δφ = 60⁰ , поэтому можно сделать вывод, что система устойчива и имеет высокие запасы по устойчивости. Следовательно, система не требует ввода корректирующих устройств.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе курсовой работы была синтезирована локальная система регулирования паротурбинной установкой, в которой число оборотов турбины зависит от давление пара, которое в свою очередь зависит от температуры пара, поэтому в качестве регулируемого параметра выбрана температура пара перед турбиной.

Также был проведен расчет системы для определения ее устойчивости, из которого следует, что система устойчива.

В курсовой работе были построены переходный процесс и амплитудно-частотная характеристика, по которым были определены прямые и косвенные оценки качества системы. Полученные оценки качества отклонялись от заданных в техническом задании меньше, чем на 5%. Из этого следует, что система не требует введения корректирующих устройств.

Кроме этого, были построены логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики, по которым были определены запасы устойчивости по амплитуде и фазе, которые были высокими, следовательно, локальная система регулирования паротурбинной установки не требует корректирующих устройств.

Список ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Агейкин Д. И. Датчики контроля и регулирования: Справочник / Д. И. Агейкин, Е. Н. Костина, Н. Н. Кузнецова. - М.: Машиностроение, 1965.– 98 с.

2. Бедфорд Р. Измерение температуры / Р. Бедфорд, Т.М. Дофине, Х. Престон-Томас. - М.: Мир, 1973. - с. 131.

3. Биссекерский В.А. Теория систем автоматического регу­лирования / В.А. Биссекерский, Е.П. Попов. - М.: Наука, 1996. - 992с.

4. Бронштейн И.Н., Справочник по математике для ин­женеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М.: Наука, 1980. - 976с.

5. Геращенко О.А. Температурные измерения / О.А. Геращенко, А.Н. Гордов. - Киев: Наук. думка, 1984.- 495 с.

6. Гордов А.Н. Основы температурных измерений / А. Н. Гордов, О.М. Жагулло, А.Г. Иванова. – М.: Энергоатомиздат, 1992. - 304с.

7. Иоффе А.Ф. Полупроводниковые термоэлементы / А. Ф. Иоффе. – М.: АН СССР, 1960. – 378 с.

8. Нефелов С. В. Техника автоматического регулирования в системах вентиляции и кондиционирования воздуха / С. В. Нефелов, Ю. С. Давыдов. - М.: Стройиздат, 1984. — 328 с.: ил.

9. Солодовников В. В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования: Учебное пособие для приборостроительных специальностей ВУЗов / В. В. Солодовников. – М.: Машиностроение, 1985. – 536 с.

10. Сотников А. Г. Автоматизация систем кондиционирования воздуха и вентиляции / А. Г. Сотников. - Л.: Машиностроение, 1984. — 235 с.: ил.

11. Тамм И.Е. Основы теории электричества / И.Е. Тамм. - М.: Государственное изда­тельство технико-технической литературы, 1954. - 620с.

12. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического ре­гулирования: Учеб. Пособие для втузов / Ю.И. Топчеев. - М.: Машиностроение, 1989 - 752с.