3.2 Расчет датчика давления

В данной системе управления датчиком давления выбран датчик компании Honeywell серии FP2000. /7/ Для того, чтобы определить насколько точно подобран датчик, необходимо произвести расчет его чувствительного элемента. Чувствительным элементом в этом датчике является мембрана, выполненная из резиновой смеси. Необходимо рассчитать следующие параметры: прогиб, уравнение деформации, радиальную деформацию, тангенциальную деформацию, собственную частоту.

Технические характеристики датчика давления:

- давление для ИВЛ, кПа от 10 до 20;

- размеры датчика, мм 40х100х40.

Рассчитаем параметры:

- прогиб:

, (30)

где = 0,98 – коэффициент Пуассона материала мембраны;

Р = 10 кПа – давление, действующее на мембрану;

β = 785·10ˉ³ Н/м – модуль Юнга материала мембраны /8/;

R = 7 мм – радиус мембраны;

e = 3 мм – толщина мембраны.

=0,0132·12,7388535·44,46296=7,5 мм;

- уравнение деформации:

, (31)

где d = 10 мм – диаметр выводной трубки клапана.

0,623;

- радиальная деформация:

=; (32)

- тангенциальная деформация:

=0,007425·12,7388535·1,4444=0,13266; (33)

- собственная частота:

, (34)

где ρ = 4,5·10ˉ³ г/м³ - плотность материала, из которого изготовлена мембрана.

0,0287755·66,15126208=1,9 Гц.

Основными параметрами того, что датчик давления подобран правильно, являются такие параметры, как прогиб мембраны и собственная частота. Рассчитав эти показатели для используемого датчика давления, можно сказать, что датчик обратной связи выбран верно и подходит по требованиям, установленным системой.

4 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ

Преобразуем структурную схему данной системы и найдем общую передаточную функцию непрерывной части системы. Непрерывная часть системы включает в себя все элементы системы кроме микропроцессора.

Запишем передаточные функции каждого элемента системы:

- микропроцессор:

;

- первый усилитель напряжения:

;

- компрессор:

;

- ресивер:

;

- датчик плотности:

;

- преобразователь давления:

;

- второй усилитель напряжения:

;

- нагревательный элемент:

;

- датчик температуры:

;

- клапан вдоха/выдоха:

;

- датчик давления:

.

Выделим в структурной схеме изменяемую и неизменяемую части системы автоматического управления. Изменяемая часть состоит из ЭВМ, в состав которой входят микропроцессор, аналого-цифровой и цифро-аналоговый преобразователи. Неизменяемая часть состоит из всех остальных элементов системы. Для изменяемой части определим устойчивость по критерию Гурвица, построим график переходного процесса системы, амплитудно-частотную характеристику системы, определим прямые и косвенные оценки качества системы. Для неизменяемой части определим устойчивость по критерию Шур-Кона, проведем z-преобразование для построения графика переходного процесса замкнутой системы и также определим прямые и косвенные оценки качества системы.

Структурная схема системы представлена на рисунке 8.

Рисунок 8 – Структурная схема системы автоматического регулирования

давления и температуры в аппарате искусственной вентиляции

легких

Преобразуем схему:

Получим функциональную схему вида:

Рисунок 9 – Преобразованная функциональная схема

Выполним дальнейшее преобразование:

Общая передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:

. (35)

Подставив значения каждой из передаточных функций в программе MathCAD, получили значение :

.

Проверим устойчивость системы по критерию устойчивости Ляпунова, который означает: если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости, то система является устойчивой.

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

Найдем корни характеристического уравнения с помощью MathCAD:

.

Так как все вещественные части корней отрицательны, то есть корни лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости, то это означает, что система устойчива.

Проверим устойчивость системы по критерию Гурвица, который означает: система является устойчивой, если все миноры определителя Гурвица положительны.

Построим определитель по коэффициентам характеристического уравне­ния:

Условие выполняется, значит, система является устойчивой.

Построение переходного процесса системы автоматического регулирования температуры и давления аппарата искусственной вентиляции легких выполняется на основе обратного преобразования Лапласа от передаточной функции системы автоматического регулирования в замкнутой форме. Преобразование по Лапласу от передаточной функции системы автоматического регулирования в замкнутой форме выполним с помощью программы MathCAD:

Построим график переходного процесса системы и определим прямые оценки качества системы, такие как: установившееся значение, перерегулирование, колебательность, время нарастания, время первого согласования, время достижения максимального значения.

Рисунок 10 – График переходного процесса системы автоматического

регулирования температуры и давления аппарата

искусственной вентиляции легких от передаточной функции

системы автоматического регулирования в замкнутой форме

По графику на рисунке 10 определим показатели качества системы автоматического регулирования:

- установившееся значение выходной величины =0,95;

- перерегулирование ;

- колебательность системы, то есть число колебаний регулируемой величины за время переходного процесса n=2;

- время нарастания – время, за которое регулируемая величина достигает установившегося значения =28 с.;

- время достижения максимального значения =3,2 с.;

- время первого согласования – время, за которое регулируемая величина первый раз достигнет своего установившегося состояния t=2,8 с.

Можно сделать вывод: по переходному процессу видно, что система является устойчивой, были определены прямые оценки качества системы, такие как перерегулирование и время регулирования, которые удовлетворяют заданным в техническом задании параметрам системы. Отсюда следует, что линейная часть системы не нуждается в коррекции.

Косвенные оценки качества системы определяются по графику амплитудно-частотной характеристики системы (рисунок 11). Для того, чтобы определить амплитудно-частотную характеристику системы, необходимо в передаточной функции заменить p на jω, знаменатель уравнения помножить на сопряженное выражение, выделить мнимую и вещественную части, и по следующей формуле строится амплитудно-частотная характеристика системы:

. (37)

.

Выполним замену в программе MathCAD:

2,5

1

А(0)

0,5

0 20 40 6080  100 120 ,Гц

Рисунок 11 – График амплитудно-частотной характеристики

По графику на рисунке 11 определяем:

- амплитуда при нулевой частоте А(0)=0,95;

- максимальная амплитуда =2,05;

- резонансная частота – частота, при которой амплитудно-частотная характеристика достигает своего максимального значения =67 Гц;

- показатель колебательности:

;

- полоса пропускания ω=37 Гц.

Проверка устойчивости системы автоматического регулирования с учетом микропроцессора выполняется на основании критерия устойчивости Шур-Кона, который позволяет анализировать устойчивость дискретных и дискретно-непрерывных систем по характеристическому уравнению замкнутой системы, записанному в форме z-преобразования.

Замкнутая система будет устойчива, если корни характеристического уравнения будут находиться внутри единичной окружности, то есть если коэффициенты уравнения будут удовлетворять всем определениям Шур-Кона, имеющих отрицательные значения для нечетных определителей и положительных для четных.

Переход от операторной формы записи передаточной функции замкнутой системы к z-форме и расчет определителей Шур-Кона будем выполнять при помощи прикладной программы MathCAD.

Разложим передаточную функцию замкнутой САУ на простые дроби:

Переход от операторной формы к z –форме выполняется по формуле:

, (38)

где δ₁ – разрядность АЦП;

δ₂ – разрядность ЦАП;

W(z)_мп – z-преобразованная передаточная функция микропроцессора;

– фиксатор нулевого порядка;

– z-преобразование для непрерывной части замкнутой системы

автоматического регулирования без учета микропроцессора.

Для используемого в системе микропроцессора:

.

Проведём z-преобразование. Для импульсных систем характерно построение решетчатых функций. Для решетчатых функций было введено понятие периода дискретизации. Чем меньше период дискретизации Т₀, тем лучше, но из-за неоправданного уменьшения Т₀ резко возрастает сложность системы. Для проектируемой системы Т₀=0,6 сек.

Z-преобразование, проводится согласно формулам:

. (39)

, (40)

где . (41)

Передаточная функция замкнутой системы в форме z-преобразований:

.

Перейдем к псевдочастоте, сделав подстановку:

, (42)

где .

Преобразовав в программе MathCAD выражение , получим передаточную функцию для замкнутой системы с учетом микропроцессора:

П

h(t)

1,5

1,2

0,6

0,3

остроим график переходного процесса для замкнутой системы после z-преобразования.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 t, c

Рисунок 12 – График переходного процесса после z-преобразования

По графику на рисунке 12 определим показатели качества системы автоматического регулирования:

- установившееся значение выходной величины =0,95;

- перерегулирование ;

- колебательность системы, то есть число колебаний регулируемой величины за время переходного процесса n=2;

- время нарастания – время, за которое регулируемая величина достигает установившегося значения =28 с.;

- время достижения максимального значения =3,2 с.;

- время первого согласования – время, за которое регулируемая величина первый раз достигнет своего установившегося состояния t=2,8 с.

По виду переходного процесса видно, что система является устойчивой. Можно сделать вывод, что при введении в систему микропроцессора, качество системы не ухудшается, а значит, дискретная часть системы также является устойчивой.

Характеристическое уравнение:

. (43)

.

Определитель Шур - Кона имеет вид:

. (44)

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все нечетные определители были меньше 0, а все четные – больше 0.

Составим и вычислим, используя программу MathCAD, четные и нечетные определители Шур-Кона:

;

;

;

.

Так как , , , , то можно сделать вывод, что система автоматического регулирования давления и температуры воздуха аппарата искусственной вентиляции легких с учетом микропроцессора является устойчивой.

В результате расчетов были определены прямые и косвенные оценки качества системы, а также определение устойчивости по различным критериям непрерывной и дискретной частей данной системы, которые показали, что линейная и дискретная части системы автоматического регулирования давления и температуры воздушной смеси аппарата искусственной вентиляции легких являются устойчивыми и показатели качества удовлетворяют параметрам системы, заданным в техническом задании. При введении в систему микропроцессора, качество системы не ухудшается.

5 ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНО-

ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ

ФАЗОВО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАТКЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ

РЕГУЛИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ И ДАВЛЕНИЯ ВОЗДУШНОЙ

СМЕСИ АППАРАТА ИСКУССТВЕННОЙ ВЕНТИЛЯЦИИ ЛЕГКИХ

ЛАЧХ системы строится по передаточной функции разомкнутой системы. Передаточная функция разомкнутой системы автоматического регулирования давления и температуры воздушной смеси в аппарате искусственной вентиляции легких:

. (45)

Преобразование данной передаточной функции выполним в прикладной программе MathCAD:

. Для построения ЛАЧХ системы с учетом микропроцессора необходимо произвести z – преобразование разомкнутой системы автоматического регулирования.

Разложим передаточную функцию замкнутой системы автоматического регулирования давления и температуры воздушной смеси в аппарате искусственной вентиляции легких на простые дроби, используя программу MathCAD:

.

Переход от операторной формы к z –форме выполняется по формуле:

, (46)

где - z-преобразование для непрерывной части разомкнутой систе-

мы автоматического регулирования без учета микропроцессора.

Выполним z-преобразование. Тогда передаточная функция разомкнутой системы в форме z-преобразования запишется в виде:

Перейдем к псевдочастоте, сделав подстановку:

,

где .

Преобразовав с помощью программы MathCAD выражение передаточной функции разомкнутой системы в форме z-преобразования, получим передаточную функцию для разомкнутой системы с учетом микропроцессора:

.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ, передаточную функцию разомкнутой системы представляют в виде про­изведения передаточных функций элементарных звеньев. В более сложных слу­чаях, когда выражение передаточной функции трудно представить в виде про­изведения простых сомножителей и оно имеет общий вид, как в данном случае, построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики и логарифмической фазово-частотной характеристики производится обычным вычислением модуля и аргу­мента частотной передаточной функции при различных частотах.

Построим ло­гарифмические характеристики неизменяемой части системы, применяя редак­тор Matlab 6.5.

L(λ), дБ

λ, рад/с

80

60

40

20

0

-20

-40

φ(λ)

0

-45

-90

-135

-180

1

2

3

∆L

∆φ

+20 дБ/дек

-20 дБ/дек

0 дБ/дек

1 – исходная ЛАЧХ, 2 – аппроксимированная ЛАЧХ, 3 - ЛФЧХ

Рисунок 13 – ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ

Аппроксимируем ЛАЧХ стандартными наклонами -20 дБ/дек, +20 дБ/дек и 0 дБ/дек. Получим частоты излома (сопряжения) λ₁ = 20 c^-1; λ₂ = 600 c^-1.

Проанализируем полученные графики:

- запас устойчивости по фазе: Δφ = 90⁰;

- запас устойчивости по амплитуде: ΔL = 22 дБ.

Вывод: найденные запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде не удовлетворяют требованиям данной системы, следовательно, система нуждается в коррекции.

6 ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ЖЕЛАЕМОЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ

АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЖЕЛАЕМОЙ

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФАЗОВО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ, ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ

АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА

Для построения ЖЛАЧХ приведем исходные данные:

- максимальная допустимая ошибка ε = 0,05;

- перерегулирование σ=10%;

- время регулирования = 30 сек.;

- колебательность М=2.

ЖЛАЧХ для дискретных систем строится методом запретной зоны. Для построения запретной зоны находим координаты рабочей точки, через которую будет проходить граница запретной зоны. У дискретных систем входной сигнал изменяется по следующему закону:

. (47)

В

U(t)

K

2,5

2

1,5

1

0,5

ходным сигналом для системы является сигнал, поступающий с блока управления (задатчик).

0 0,5 1 Т 1,5 2 2,5 3 t, с

Рисунок 14 – Динамическая характеристика блока управления

Определяем скорость и ускорение входного сигнала по динамической характеристике (рисунок 14) блока управления.

Скорость изменения входного сигнала:

(48)

Угол α находится:

(49)

Ускорение изменения входного сигнала:

(50)

Значение частоты рабочей точки:

(51)

Рабочая амплитуда входного сигнала:

(52)

Ордината рабочей точки:

(53)

Координаты рабочей точки запретной зоны

Точка является рабочей точкой для построения запретной зоны. Проводим через рабочую точку прямую с наклоном минус 20 дБ\дек. Зона, находящаяся ниже построенной прямой, является запретной и построение желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики в этой зоне запрещено.

По номограмме качества Солодовникова определяется частота среза по заданному перерегулированию и времени регулирования системы:

(54)

(55)

По номограмме Солодовникова /8/ определяем запас устойчивости по амплитуде дБ/дек.

Условно ЖЛАЧХ разделяют на три части: высокочастотную, среднечастотную и низкочастотную. Низкочастотная часть ЛАЧХ определяет статическую точность системы. Среднечастотная часть определяет запасы устойчивости и является наиболее важной. Чем больше наклон среднечастотной ЛАЧХ, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойства системы. Высокочастотная часть ЛАЧХ играет незначительную роль в определении динамических свойств системы.

Построение ЖЛАЧХ начинаем со среднечастотной части. Через точку среза проводим прямую с наклоном минус 20 дБ/дек. От точки среза находим левую и правую граничные частоты, откладывая запас устойчивости дБ/дек. Низкочастотная часть проводится из точки с наклоном логарифмической амплитудной характеристикой минус 40 дБ/дек, так как для системы необходимо большое усиление. Высокочастотная часть для упрощения корректирующего устройства сопрягается с ЛАЧХ неизменяемой части таким образом, что она будет иметь наклон минус 20 дБ/дек до частоты , а затем наклон 0 дБ/дек.

Передаточная функция ЖЛАЧХ в общем виде:

(56)

где =10 рад/с;

=600 рад/с;

Передаточная функция системы автоматического регулирования:

По полученной передаточной функции строим желаемую логарифмическую фазово-частотную характеристику.

L(λ), дБ

(57)

λ, рад/с

80

60

40

20

0

-20

-40

φ(λ)

0

-45

-90

-135

-180

-20 дБ/дек

-20 дБ/дек

0 дБ/дек

0 дБ/дек

-40 дБ/дек

+20 дБ/дек

1

2

3

4

5

6

1 – граница запретной зоны, 2 – аппроксимированная ЛАЧХ,

3 – реальная ЛАЧХ, 4 – аппроксимированная ЖЛАЧХ, 5 – реальная ЛАЧХ,

6 - ЖЛФЧХ

Рисунок 15 – ЛАЧХ, ЖЛАЧХ и ЖЛФЧХ системы автоматического

регулирования давления и температуры воздушной смеси

аппарата искусственной вентиляции легких

Построения показали, что запас устойчивости по амплитуде и запас устойчивости по фазе улучшились. Запас устойчивости по фазе: . Запас устойчивости по амплитуде определяется превышением на частоте пересечения с осью 180°. Так как не достигает 180°, находясь выше этого значения, то запас устойчивости по амплитуде ∆L=∞.

Таким образом, получена система с лучшими характеристиками, чем у реальной, с таким же запасом устойчивости по фазе и бесконечным запасом устойчивости по амплитуде. Желаемая система получается из реальной путем введения корректирующего устройства.

Для того, чтобы синтезировать корректирующее устройство необходимо выбрать тип корректирующего устройства. Для коррекции исходной системы автоматического регулирования выбираем последовательное корректирующее устройство.

Преимущество последовательных корректирующих устройств заключается в том, что они могут быть осуществлены в виде простых пассивных RC-контуров и обеспечивают наиболее простую схему включения, не требует сложных элементов для согласования, передает значения величин управляющих сигналов (тока, напряжения), кроме того, расширяет полосу пропускания частот при наличии дифференцирующих звеньев в цепи регулирования, что позволяет передавать большую мощность сигнала.

Параллельное корректирующее устройство в исходной схеме автоматического регулирования применить сложно. Параллельные корректирующие устройства требуют высоких коэффициентов усиления. Применение параллельного корректирующего устройства приведет к ослаблению коэффициента усиления всей системы в целом, что недопустимо в заданной системе, так как исходная система имеет небольшой коэффициент усиления.

Синтез последовательного корректирующего устройства основан на использовании соотношения:

(58)

Для построения логарифмической амплитудно-частотной характеристики корректирующего устройства необходимо из желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики вычесть логарифмическую амплитудно-частотную характеристику неизменяемой части.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика последовательного корректирующего устройства описывается уравнением:

(59)

где - желаемая ЛАЧХ;

- ЛАЧХ неизменяемой части.

ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства представлена на рисунке 16.

L(λ), дБ

λ, рад/с

1

2

3

-40 дБ/дек

+20 дБ/дек

-60 дБ/дек

-40 дБ/дек

-20 дБ/дек

-20 дБ/дек

0 дБ/дек

0 дБ/дек

0 дБ/дек

80

60

40

20

0

-20

-40

1 – ЖЛАЧХ, 2 – ЛАЧХ корректирующего устройства, 3 – исходная ЛАЧХ

Рисунок 16 – Построение ЛАЧХ корректирующего устройства

Из рисунка видно, что ЛАЧХ корректирующего устройства имеет наклон минус 60 дБ/дек до частоты λ=10 рад/с, затем наклон меняется и до частоты

λ=21 рад/с он становится равным минус 40 дБ/дек, а после частоты λ=21 рад/с

наклон ЛАЧХ корректирующего устройства становится неизменным и составляет 0 дБ/дек.

Вывод: в результате построения ЖЛАЧХ и ЖЛФЧХ улучшились запас устойчивости по амплитуде и запас устойчивости по фазе, также была построена ЛАЧХ корректирующего устройства, при введении которого, система автоматического регулирования температуры и давления воздушной смеси аппарата искусственной вентиляции легких соответствует заданным характеристикам.