Теоремы двойственности

Первая теорема двойственности. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то другая также имеет оптимальное решение, причём значения целевых функций задач совпадают, то есть выполняется следующее равенство - -

F(X^*)_max=F_q(Z^*)_min

Экономический смысл данной теоремы. Предприятию безразлично производить ли продукцию по оптимальному плану X и получить наибольшую прибыль или продать ресурсы по оптимальным ценам Z и возместить от продажи равные прибыли наименьшие затраты на ресурсы.

Вторая теорема двойственности. Для оптимальности допустимых решений X и Z пары двойственных задач необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли системе уравнений:

X_j*(-C_j)=0 – потеря на производстве

Z_i*(-b_i)=0

Вторая теорема утверждает, что если в оптимальном решении одной из двойственных задач одна переменная строго больше нуля, то соответствующее ей ограничение другой двойственной задачи выполняется как равенство и наоборот. Если при оптимальном решении одной из двойственных задач какое-либо ограничение выполняется как неравенство, то соответствующая ему переменная в оптимальном решении другой задачи. В первом уравнении величина в скобках с точки зрения экономического смысла представляет собой потери, которые несёт предприятие при производстве 1 единицы j-той продукции (j=1,…,n). Во втором уравнении величина в скобках представляет собой остатки i-того ресурса при производстве продукции (i=1,…,n).

X_j^* * V_i^*=0

Z_i^* * Y_i^*=0

Таким образом, можно утверждать, что зная решение одной из двойственных задач, можно найти решение другой двойственной задачи. Как правило, при решении двойственных задач решают только исходную, а затем на основе анализа отчётов определяют решения двойственной задачи.

Анализ решения злп

Получение оптимального плана ЗЛП, связанной с использованием ресурсов в производстве, - это только начало работы с моделью.

Анализ отчёта Excel состоит из: отчёт по результатам, отчёт по устойчивости.

Отчёт по результатам состоит из 3 таблиц:

1. Целевая ячейка - содержит значение целевой функции

2. Изменяемые ячейки - содержит исходные и результатные значения переменных исходной задачи X_j^*

3. Ограничения - состоит из 6 граф: столбец «Значение» показывает количество использованного ресурса i-того вида; столбец «Статус» имеет 2 значения (связанное или не связанное) – если ресурс использован полностью в производстве, то у него статус «связанное», если использован не полностью, то статус у него «не связанное»; столбец «Разница» показывает остаток неиспользованного ресурса i-того вида.

Отчёт по устойчивости состоит из 2 таблиц:

1. Изменяемые ячейки

2. Ограничения

Существует определенный интервал устойчивости оптимального решения ЗЛП, в котором изменения значений коэффициентов целевой функции не приводит к изменению оптимального решения. При этом само значение целевой функции изменяется, а оптимальный план остаётся тот же.

Так как обе переменные x₁ и x₂ вошли в оптимальный план (их значения больше 0), можно сделать вывод, что оба вида продукции выгодны для производства. Потери от производства 1 единицы каждого вида продукции равны 0. Если нормированная стоимость равна 0, значит, предприятие не несёт потерь от производства продукции и данный вид продукции выгоден. Прибыль за единицу продукции может изменяться в следующих пределах:

200-100<=C₁<=200+150 100<=C₁<=350

100-42,85<=C₂<=100+100 57,15<=C₂<=200

При изменении цен за единицу продукции изменится величина прибыли, но при этом производство не будет нести потерь и оптимальный план не изменится.

Столбец «Теневая цена» - переменные двойственной задачи Z_i^*. С точки зрения экономического смысла теневые цены – характеристики ценности отдельных видов ресурсов для конкретного производства. Теневая цена – не цена ресурса на рынке. Теневая цена показывает дефицитность конкретного вида ресурса для конкретного производства: чем выше теневая цена, тем более дефицитным является данный ресурс для предприятия. Дополнительное количество дефицитного ресурса позволит выпустить дополнительное количество продукции и позволит увеличить прибыль.

Третий вид ресурса имеет наибольшую теневую цену и является наиболее дефицитным.

Существует следствие из второй теоремы двойственности, которое называется следствием об оценках:

треугольникF=Z_i^**треугольникb_i

При увеличении количества i-того ресурса на 1 единицу прибыль возрастает на величину теневой цены этого ресурса.

Допустимое увеличение и уменьшение в таблице «Ограничения» показывает, на сколько единиц можно увеличить или уменьшить количество i-того вида ресурса, используемого в производстве и при этом оптимальный план изменяться не будет.

Количество ресурсов, которые можно использовать в производстве колеблется в следующих пределах:

350-175<=b₁<=350+175

b₂>=290-70

150-50<=b₃<=150+29,16

Выход по количеству ресурсов за пределы приведёт к тому, что оптимальный план изменится.