курсовая работа / Теория автоматического управления / 4

4. Определение устойчивости замкнутой АСР.

Для того, чтобы автоматическая система регулирования могла выполнять свои функции, она должна прежде всего удовлетворять требованию устойчивости, то есть возвращаться к равновесному состоянию после снятия возмущения, нарушившего ее равновесие.

Согласно динамической теории устойчивости линейных систем, основы которой сформулированы А. М. Ляпуновым, устойчивость линейной системы зависит от корней ее характеристического уравнения. Линейная АСР является устойчивой только в том случае, если все действительные корни и вещественные части комплексно-сопряженных корней ее характеристического уравнения будут отрицательными.

Определение корней характеристического уравнения обычно связано с трудоемкими вычислениями и далеко не всегда возможно, т.к. для реальных объектов часто не удается построить достаточно достоверные параметрические математические модели, описывающие их динамику. Поэтому для практических расчетов, как правило, пользуются косвенными признаками, позволяющими без определения корней характеристического уравнения исследовать систему на устойчивость. Такие признаки получили название критериев устойчивости.

Наиболее часто употребляемыми критериями устойчивости являются алгебраические критерии Рауса - Гурвица, а также критерии Михайлова и Найквиста, основанные на частотных представлениях. В настоящем курсовом проекте предусмотрено использование критерия Найквиста.

Критерий Найквиста основан на рассмотрении КЧХ разомкнутой системы, по виду которой можно судить об устойчивости замкнутой АСР. Это обусловлено наличием однозначной зависимости между передаточной функцией разомкнутой системы и характеристическим уравнением замкнутой АСР.

Критерий Найквиста формулируется следующим образом:

Система регулирования, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф комплексной частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами

(-1, i0).

Для того, чтобы воспользоваться критерием Найквиста, необходимо определить КЧХ регулятора и рассчитать по данным таблиц КЧХ объекта, а затем найти КЧХ разомкнутой системы по формуле .

7

Для ПИД и ПИ-регуляторов КЧХ задаются выражениями и соответственно.

В данном курсовом проекте для определения КХЧ объекта, КХЧ разомкнутой системы с ПИ и ПИД – регуляторами, АЧХ замкнутой системы с ПИ и ПИД – регуляторами (по каналу от входа до выхода – запас устойчивости ) воспользовался таблицами и представленными в листинге программами CHASTXAR, PIDREG и PIREG.

ПИ
RеWоб(I)	Imоб(I )
-0.9676	-0.1153	3
-0.7424	0.0509	3.5
-0.5619	0.1383	4
-0.4200	0.1781	4.5
-0.3101	0.1895	5
-0.2262	0.1848	5.5
-0.1628	0.1715	6
-0.1155	0.1544	6.5
-0.0806	0.1364	7
-0.0549	0.1192	7.5
-0.0362	0.1035	8

Применяя критерий Найквиста к фрагменту годографа КЧХ разомкнутой системы, представленному на рис. 2, можно сделать вывод об устойчивости замкнутой системы с ПИ-регулятором, т.к. данный годограф не охватывает точку с координатами (-1, i0).

ПИД
RеWоб(I)	Imоб(I )
-2,2206	-2,3337	3
-1,8183	-1,7464	3,5
-1,5139	-1,3737	4
-1,2879	-1,1266	4,5
-1,1217	-0,9530	5
-0,9993	-0,8224	5,5
-0,9080	-0,7173	6
-0,8381	-0,6279	6,5
-0,7831	-0,5491	7
-0,7386	-0,4285	7,5
-0,7021	-0,4148	8

8

Об устойчивости замкнутой системы с ПИД-регулятором можно сделать вывод из рис. 3, т.к. и в этом случае годограф КЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1, i0).

Определим, выполняются ли ограничения на запас устойчивости для замкнутой системы:

, _;где ;Считается,что замкнутая система обладает требуемых запасом устойчивости, если выполняется следущее ограничения: ,

где - предельно допустимое значение величины . На практике часто принимают, что

С этой целью необходимо построить график АЧХ замкнутой системы .

ПИ	ПИД
8,1345	1,2232	3
2,8334	1,3072	3,5
1,2595	1,3938	4
0,7518	1,4715	4,5
0,5079	1,5320	5
0,3671	1,5737	5,5
0,2767	1,6001	6
0,2148	1,6151	6,5
0,1704	1,6199	7
0,1377	1,6139	7,5
0,1132	1,5969	8

По результатам расчета по программе CHASTXAR построен график, представленный на рисунке № 4.

На основании графиков, представленных на рисунке, можно сделать вывод, что замкнутая система как с ПИ, так и с ПИД-регулятором при оптимальных параметрах настройки не только устойчива, но и обладает заданным запасом устойчивости, т.к. максимальное значение АЧХ в обоих случаях не превышает значения 1,62. Кроме того, из рисунка 4 видно, что АЧХ замкнутой системы при использовании ПИД-регулятора имеет лишь один пик, что позволяет, как было указано выше, избежать нежелательного затягивания переходных процессов.

9