3. Определение передаточных функций элементов структурной схемы
ОР (емкость 1) является апериодическим звеном первого порядка:
W1(p)= , где К1 = 1,5; Т1 = 0,15 c.
Датчик (буек 2) является усилительным звеном:
W2(p) = K2, где K2 = 1.
Задающее устройство является усилительным звеном:
W3(p) = K3, где K3 = 2.
Рычаг 8 является усилительным звеном:
W4(p) = K4, где K4 = 0,2.
Передаточная функция заслонки имеет вид:
W5(p) = , где K5 = 1; T5 = 0.2 c.
Пневмоусилитель 13 является усилительным звеном:
W6(p) = K6, где K6 = 3.
Сильфон 14 является усилительным звеном:
W7(p) = K7, где K7 = 2.
Исполнительное устройство 15 (клапан) является усилительным звеном:
W8(p) = K8, где K8 = 2.
Здесь Ki – коэффициент усиления или передаточный коэффициент звена;
Ti – постоянная времени звена.
4. Преобразование структурной схемы и расчет передаточной функции для замкнутой и разомкнутой систем
Определим общую передаточную функцию замкнутой системы.
Для этого проведем эквивалентное преобразование с исходной структурной схемой системы (рисунок 4).
W3(p)
W4(p)
W5(p)
W6(p)
W8
W1(p)
- -
W7(p)
W2
Рис. 4 Исходная структурная схема системы
Звенья 4, 5, 6 соединены последовательно. Обозначим их через W9(p):
W9(p) = W4(p)·W5(p)·W6(p) = K4· · K6 = 0,2· ·3 =
Звенья 9 и 7 соединены встречно параллельно (отрицательная обратная связь). Обозначим их через W10(p):
W10(p) = = = .
Полученное звено 10 соединено последовательно со звеньями 8 и 1. Обозначим их через W11(p):
W11(p) = W10(p)·W8(p)·W1(p) = · 2 · =
Преобразованная структурная схема будет иметь вид (рисунок 5).
W3(p)
W11(p)
W2(p)
Рис. 5 Преобразованная структурная схема замкнутой системы
Звенья 11 и 2 соединены встречно-параллельно (отрицательная обратная связь). Обозначим их через W12(р):
W12(p) = = = .
Звенья 12 и 3 соединены последовательно. Обозначим их через WЗАМ.(р).
WЗАМ.(р) = W12(p)·W3(р) = ·2 = .
Передаточная функция замкнутой системы равна:
WЗАМ.(р) = .
Определим передаточную функцию разомкнутой системы. Структурная схема разомкнутой схемы представлена на рисунке 6.
W3(p)
W11(p)
W2(p)
Рис. 6 Преобразованная структурная схема разомкнутой системы
Передаточная функция разомкнутой системы WРАЗ(р):
WРАЗ(р) = W3(p)·W11(p)·W2(p) = 2· ·1 =
= .
ВТОРАЯ ЧАСТЬ
1. Определение устойчивости системы по критерию Гурвица и по годографу Михайлова
Определим устойчивость системы по критерию Гурвица. Передаточная функция замкнутой системы:
WЗАМ.(р) = .
Выпишем характеристическое уравнение системы:
L(p) = 0,03р3 + 0,35р2 + 1,18р + 3.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительны. Определитель Гурвица составим по коэффициентам характеристического уравнения.
Δ = ;
Δ1 = 0,35 > 0;
Δ2 = = 0,323 > 0;
Δ3 = 0.969 > 0.
Все миноры определителя Гурвица положительны, следовательно система устойчива.
Определим устойчивость системы по годографу Михайлова.
Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности повернулся против часовой стрелки, начиная на вещественной оси, на число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, последовательно проходя эти квадранты.
Подставив в характеристическое уравнение подставим вместо р значение jw и получим характеристический вектор.
L(jw) = -0.03jw3 – 0.35w2 + 1,18jw + 3.
Выделим вещественную и мнимую части:
Задаваясь значениями w начиная от нуля вычисляем отдельно вещественную часть (ReL(w)) и мнимую (ImL(w)). Результаты вычисления сведем в таблицу 1.
Таблица 1
w |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
ReL(w) |
3 |
2.65 |
1.6 |
-0.15 |
-2.6 |
-5.75 |
-9.6 |
-14.15 |
-19.4 |
-25.3 |
-32 |
-39.4 |
ImL(w) |
0 |
1.15 |
2.12 |
2.73 |
2.8 |
2.15 |
0.6 |
-2.03 |
-5.92 |
-11.2 |
-18.2 |
-26.9 |
По полученным значениям построим годограф Михайлова.
График 1. Годограф Михайлова
Как видно из графика, годограф Михайлова начинается на вещественной полуоси, проходит против часовой стрелки три квадранта (степень характеристического уравнения) и уходит в бесконечность. Следовательно, система устойчива.
2. Определение переходной и импульсной функций, построение переходного процесса
Для определения запасов устойчивости, прямых и косвенных оценок необходимо рассчитать и построить ряд различных характеристик (переходная, импульсная, АФХ, АЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ). Для этого можно воспользоваться пакетом прикладных программ Mathsoft Apps (MathCad, MathLab).
Передаточная функция системы имеет вид:
Переходная функция h(t):
Переходный процесс системы:
5 % hуст
hуст
t1 tM tП
График 2. Переходный процесс системы
Определим графически прямые оценки качества системы.
Время переходного процесс tП – это время регулирования системы. Определяется как интервал от момента приложения какого-либо воздействия на систему до времени вхождения системы 5 % трубку. Определяет быстродействие системы.
tП = 1,73 с.
Перерегулирование б (максимальная динамическая ошибка):
б = = = 16,67 %.
Колебательность n – число колебаний системы от момента воздействия на нее до перехода в установившееся состояние.
n = 0.
Время нарастания регулируемой величины tM – время, при котором выходная величина достигает максимальное значение.
tМ = 1,2 с.
Время первого согласования t1 – время, за которое регулируемая величина первый раз достигает свое установившееся значение.
t1 = 0,8 с.
Построим весовую функцию.
3. Построение частотных характеристик системы. Определение косвенных оценок качества системы
Заменим в передаточной функции системы оператор р на jw.
Амплитудо-частотная характеристика (АЧХ) системы будет:
Построим АЧХ системы:
AMAX
A(0)
1
AMAX
wp wср w2
График 4. АЧХ системы
Определим графически косвенные оценки качества системы.
Показатель колебательности:
М = = = 1.125.
Резонансная частота wp – частота, при которой АЧХ достигает максимальное значение:
wр = 2,41 с-1.
Частота среза wср – частота, при которой АЧХ принимает значение, равное единице (косвенно характеризует быстродействие системы):
wср = 3,74 с-1.
Полоса пропускания частот – частота наилучшего прохождения сигнала по системе. Определяется как интервал частот, когда значение АЧХ больше, чем
·АMAX.
· АMAX = 0,95.
Интервал частот полосы пропускания находится между частотами w1 = 0 c-1 и w2 = 3.95 c-1.
Построим фазо-частотную характеристику (ФЧХ) системы.
График 5. ФЧХ системы
С учетом прямых и косвенных оценок качества можно сделать вывод, что качество управления достаточно высокое.
4. Построение логарифмических частотных характеристик системы управления, оценка запасов устойчивости
С помощью логарифмических частотных характеристик исследуется устойчивость замкнутой системы. Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ ведется для разомкнутых систем.
Передаточная функция разомкнутой системы:
WРАЗ(р) = .
Определим частоты срезы, представив передаточную функцию в виде произведения стандартных звеньев.
WРАЗ(р) = =
wСР1 = 2 с-1, wСР2 = 3,03 с-1, wСР3 = 6,67 с-1.
Проведем стандартные (асимптотические) линии наклона звеньев.
20lgК = 20lg0.09 = - 20,9
20lgK 0 -20
-40
-60
wСР1 wСР2 wСР3
График 6. ЛАЧХ и ЛФЧХ системы
Запас устойчивости по амплитуде составляет 41,3 децибел.
Запас устойчивости по фазе бесконечен.
Вывод: Анализ линейной части системы показывает, что при заданных параметрах система устойчива с большим запасом устойчивости по амплитуде. Запас устойчивости по фазе бесконечен. Система в целом работоспособна.
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ