Задание.

1.1. Анализ линейной СУ.

По заданной структурной схеме системы управления (СУ) построить АФЧХ разомкнутой и замкнутой системы. Исследовать устойчивость СУ по одному из критериев. Определить запасы устойчивости по фазе и амплитуде. Построить переходный процесс в системе. По переходному процессу провести анализ качества управления и определить все его показатели. При неудовлетворительном качестве управления дать рекомендации по его улучшению.

Рисунок 1.

Где

1.2. Анализ нелинейной СУ.

Добавить в заданную структурную схему линейной СУ нелинейный элемент, получив нелинейную СУ; построить ее фазовый портрет методом припасовывания. По фазовому портрету провести анализ СУ, определить ее устойчивость.

Рисунок.2 .

Рисунок 3.

1. Анализ линейной су.

1. Упрощение структурной схемы СУ.

Заменим два звена с передаточными функциями W₁(p) и W₂(p), соединенных параллельно, одним звеном с передаточной функцией:

Тогда СУ примет вид рисунка 4.

Рисунок 4.

Теперь заменим два звена с передаточными функциями W^/(p) и W₃(p), соединенных последовательно, одним звеном. Передаточная функция этого звена и будет являться передаточной функцией разомкнутой СУ:

.

Рисунок 5

Заменим встречно-параллельное соединение одним звеном, тогда получим передаточную функцию замкнутой системы.

Подставим в [1] и [2] заданные значения передаточных функций.

Мы получили передаточные функции разомкнутой и замкнутой СУ.

2. Построение афчх системы.

Перейдем от операторной формы записи передаточных функций к передаточным функциям, записанных в изображениях по Лапласу.

Получим частотную форму записи передаточных функций.

Выделим действительную и мнимую части.

Изменяя в полученных выражениях [9] - [12] значение  от 0 до , можно получить на комплексной плоскости АФЧХ СУ.

Построим АФЧХ разомкнутой СУ.

Рисунок 6..

Построение ведем по дискретным значениям частоты ω. Таблицы значений точек АФЧХ приведены ниже.

Построим АФЧХ замкнутой СУ.

Построение АФЧХ также как и в предыдущем случае ведем по дискретным значениям частоты ω. Таблицы значений точек АФЧХ приведены после графика.

Рисунок 7..

Построим вещественные частотные характеристики

Рисунок 8.

Рисунок 9.

2. Построение АЧХ, ЛАЧХ и ФЧХ системы.

3. Построение АЧХ, ЛАЧХ и ФЧХ системы.

Построим АЧХ, ЛАЧХ и ФЧХ исходной замкнутой системы. Построение выполним по дискретным значениям частоты ω. Таблицы значений приведены после графиков.

угол в радианах

угол в градусах

Рисунок 10..

Рисунок 11..

4. Исследование устойчивости СУ.

Найдем характеристическое уравнение замкнутой системы, зная ее передаточную функцию. Для этого знаменатель передаточной функции [4] приравняем к 0.

То есть общий вид характеристического уравнения для замкнутой СУ будет выглядеть так:

Где:

Окончательно получим характеристическое уравнение для замкнутой СУ.

Проверим систему на устойчивость, по критерию устойчивости Гурвица.

Для того чтобы СУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели одинаковый знак с коэффициентом а₀, а при a₀>0 – были положительными. Определители составляются из коэффициентов характеристического уравнения по следующим правилам: по главной диагонали записывают коэффициенты, от а₁ до а_n в порядке возрастания индексов, столбцы вверх наращиваются коэффициентами уравнения с возрастающими индексами, а вниз с уменьшающимися. Если номер индекса больше n или меньше 0, то на месте такого элемента записывается ноль. Определитель, составленный по такому правилу, называется главным определителем Гурвица. Частные определители Гурвица составляются из главного определителя Гурвица путем отсечения диагональных миноров.

Составим и вычислим главный определитель Гурвица.

Частный определитель Гурвица:

Так как определители положительны при положительном а₀, то СУ является устойчивой.

5. Определение запасов устойчивости по фазе и амплитуде.

Найдем запасы устойчивости по фазе и амплитуде. Для этого построим в одной системе координат график АФЧХ для разомкнутой системы в окрестности точки (-1, 0·j) и фрагмент окружности единичного радиуса (см.рис.12).

Получили следующие результаты:

запас устойчивости по фазе ψ = 15.554,

запас устойчивости по амплитуде h = 1.

h

ψ

h

U(ω)

jV(ω)

Рисунок 12.

6. Построение переходного процесса в СУ.

Для построения графика переходного процесса в СУ найдем переходную характеристику h(t) по формуле:

,

где L^-1 – обратное преобразование Лапласа,

s – комплексная переменная.

В передаточной функции замкнутой СУ заменим р на s и вычислим h(t).

Вычислим обратное преобразование Лапласа.

Получили, что h(t) имеет вид:

По полученной функции построим график переходного процесса h(t).

Построение графика ведется по таблице значений.

t

T

h_ycm

t_p

h₂

h_max

h₁

t_max

t_н

Рисунок 13