Тема 4. Середні величини.

План.

1. Середні величини, їх суть та значення.

2. Види середніх величин, методика їх розрахунку.

3. Показники варіації та спосіб їх розрахунку.

Поряд з абсолютними і відносними величинами в статистиці широке використання мають середні величини.

Середня величина  абстрактна, узагальнююча величина, що характеризує рівень варіюючої ознаки в якісно-однорідній сукупності.

Середня величина дає можливість охарактеризувати певну ознаку сукупності одним числом, не дивлячись на кількісні розбіжності ознак внутрішньої сукупності.

Середня величина виражає типову властивість сукупності, вона абстрактна величина, а не конкретна в ній зосереджуються окремі значення одиниць сукупності, що мають відхилення в ту чи іншу сторону, реальність (достовірність) середньої величини досягається, якщо вона вираховується з однорідної сукупності.

Користуючись середніми величинами при аналізі явищ необхідно пам’ятати, що часто в середній величині приховуються відстаючі підприємства, які мають низькі показники і навпаки не видно передових.

Всі середні величини діляться на два види:

• степеневі

• стуктурні

До степеневих відносять:

1. Середньоарифметичну

2. Середньогармонійну

3. Середньоквадратичну

4. Середньогеометричну

До структурних :

1. Мода

2. Медіана

Найбільш поширена середньоарифметична, яка може бути проста і зважена:

Формули для розрахунку:

 Середня арифметична проста: - це найпоширеніший вид середньої між інших. Вона застосовується тоді, коли відомі індивідуальні значення ознаки та їх кількість у сукупності і розраховується по одному ряду чисел.

Вона обчислюється за формулою:

Приклад : з/плата робітників (грн.):

Січень 210,20; Лютий 182,40; Березень 205,6

Зважена середня арифметична використовується у тих випадках, коли значення ознаки подано у вигляді варіаційного ряду, в якому чисельність одиниць у варіантах неоднакова. Формула середньої арифметичної зваженої має вигляд:

з/плата кількість робітників

210,0 4

204,0 5

180,0 2

х=(4х 210+5х 204+2х 180):4+5+2=

середня .арифметична зважена визначається по двох рядах чисел.

Властивості середньої арифметичної.

1. ума відхилень усіх варіантів від середнього значення дорівнює нулю:

2)Якщо кожну варіанту збільшити або зменшити на будь-яку постійну величину, то середня зміниться на ту саму величину.

3)Якщо кожну варіанту розділити чи помножити на будь-яке число, то середня зменшиться або збільшиться в стільки ж разів:

3. Якщо частоти всіх варіантів збільшити або зменшити в одне і те саме число, то середня при цьому не зміниться:

5) Сума квадратів відхилень варіант від середньої менше за будь-яку іншу величину

(x-x’)²min

Розрахунок середньої арифметичної за даними інтервального групування.

Якщо дані всі інтервали, то :

Групи роб. за рівнем середнього виробітку товарної пр-ції на одного робітника грн.	Число робітни-ків f	Середина інтервалу х	xf
800-1000	20	900	18000
1000-1200	80	1100	88000
1200-1400	160	1300	208000
1400-1600	90	1500	135000
1600-1800	40	1700	68000
1800-2000	10	1900	19000
Всього:	400		536000

=1340 грн.

Групи ОСС за обсягом т/о, млн..грн.	Кількість споживачів в % до всієї кількості f	Середня інтенсив-ність х	xf
До 60 Від60,1 до 90 Від 90,1 до 110 Від 110,1 до 140 Понад 140	20 28 24 16 12	45 75 100 125 155	900 2100 2400 2000 1860
Разом:	f 100		9260

2. Середня хронологічна.

Використовується як узагальнююча характеристика для ознаки, що змінюється в часі. Середня хронологічна для моментного ряду динаміки розраховується за формулою:

3)Середня гармонійна.

Середня гармонічна - це обернена до середньої арифметичної із обернених значень ознак. Її обчислюють, коли необхідно осереднення обернених індивідуальних значень ознак шляхом їх підсумування (наприклад, у випадках визначення середніх витрат часу, праці, матеріалів на одиницю продукції тощо). У випадку розрахунку середньої гармонічної зваженої її обчислюють тоді, коли відомі дані про загальний обсяг ознаки (т=хf), а також індивідуальні значення ознаки (х), невідома є частота (f). Вона є проста і зважена.

Проста:

Приклад: Припустимо, що придбано товару в двох продавців на одну й ту саму суму – 1грн., але за різною ціною: по 3 грн. За 1 кг. У першого продавця і по 2 грн. – у другого. Як визначити середню ціну покупки? Середня арифметична (3+2):2=2,5 грн. за й кг. нереальна, оскільки за такою ціною на 2 грн. Можна придбати 2:2,2=0,8 кг. товару. Насправді придбано товару товару в першого продавця (1:3)=0,33 кг., у другого – (1:2)=0,5 кг., тобто разом 0,33+ 0,5=0,83 кг, а середня ціна становить 2:0,83=2,4 гр.

Описаний порядок розрахунку називають середньою гармонійною простою.

де, - зворотні значення варіантів. Або інакше кажучи, проста гармонійна це відношення числа варіантів до суми обернених значень цих варіантів.

У нашому прикладі:

Зважена

Приклад: За умови, що в першого продавця придбано товару на 150 грн. за ціною 3 грн., за 1 кг. а в другого на 300 грн. за ціною 2 грн. середня ціна 1 кг.

Цей розрахунок зроблено за формулою середньої гармонійної зваженої:

Формулу може бути змінено, якщо прийняти, що xf=m.

Отже,

Середня квадратична

Середня квадратична використовується для визначення показників варіації (коливання) ознаки - дисперсії та середнього квадратичного відхилення. Обчислюється на основі квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини. Формула середньої квадратичної має такий вигляд: - проста

- зважена

Середня геометрична

Середню геометричну застосовують у тих випадках, коли обсяг сукупності формується не сумою, а добутком індивідуальних значень ознак. Цей вид середньої використовується здебільшого для обчислення середніх коефіцієнтів (темпів) зростання в рядах динаміки. Так, у випадку однакових часових інтервалів між рівнями динамічного ряду середня геометрична проста має такий вигляд:

де, темпи зростання; у_і, у_i-1 - відповідно розглядаємий

та попередній рівні ряду; п - кількість інтервалів.

Прикладом застосування середньої геометричної є такий. Припустимо, що внаслідок інфляції споживчі ціни за чотири роки зросли в 2,8 рази, в тому числі: за перший рік у 1,7 рази; за другий - в 1,3; за третій - в 1,1; за четвертий - в 1,15 рази. Як визначити середньорічний темп зростання цін? Середня арифметична (1,7+1,3+1,1+1,15):4=1,312 не забезпечує визначеної властивості, так як за чотири роки за цією середньою ціни б зросли у 1,312*1,312*1,312*1,312=2,94 рази, а не в 2,8 рази. Визначену властивість забезпечує тільки середня геометрична: