2.3 Построение фазового портрета

Передаточная функция линейной системы есть или

(31)

Подставляя в формулу (31) значение передаточной функции получим:

(32)

Приведенную формулу можно записать в виде:

(33)

Воспользуемся пакетом MathCad для решения этого дифференциального уравнения.

Введем замену и исключим из правой части уравнения производную:

(34)

Для того чтобы построить фазовый портрет, необходимо, чтобы степень числителя и знаменателя не превышала вторую степень, поэтому элементы выше второй степени исключаем. Тогда получим:

(35)

(36)

Так как в качестве нелинейного элемента используется реле с гистерезисом со статической характеристикой, представленной на рисунке 10, то подставляя значение для четырех участков, получим систему:

(37)

Создадим матрицу для решения дифференциального уравнения в программе MathCad:

⁽³⁸⁾

В данной матрице реализовано условие перехода от одного уравнения к другому. Зададим матрицы для двух начальных условий:

^{, (39)}

Возьмем количество точек равным 1000 и конечное время интегрирования 200, то матрица решений запишется как:

(40)

Построим фазовый портрет

Рисунок 17 - Фазовый портрет нелинейной системы

Построим переходные процессы нелинейной системы.

t , с

Рисунок 18 – Переходный процесс нелинейной системы

Вывод.

На рисунке 17 представлен фазовый портрет нелинейной системы. Из графика видно, что при различных начальных условиях система будет оставаться устойчивой. С течением времени процесса амплитуда колебаний будет уменьшаться, система придет к устойчивому равновесию – точке (-0,2;11) на рисунке 17, то есть произойдет процесс переключения. Устойчивость системы подтверждает график переходного процесса.

3 Исследование системы с импульсным элементом

3.1 Техническое задание

По заданию проведем z-преобразование данной системы. Для этого первый элемент системы (регулятор 2) на рисунке 2 и сумматор заменим на цифровой элемент.

Рисунок 19 – Структурная схема импульсной системы

Передаточная функция цифрового элемента: W_цэ принимаем равным единице. Другие значения передаточных функций приведены в выражениях (1) – (8).

3.2 Нахождение передаточной функции замкнутой системы

Упростим структурную схему (показано на рисунке 20). Передаточные функции элементов:

⁽⁴¹⁾

⁽⁴²⁾

⁽⁴³⁾

⁽⁴⁴⁾

Рисунок 20 – Вид 1 структурной схемы цифровой системы

Найдем общую передаточную функцию замкнутой системы:

⁽⁴⁵⁾

⁽⁴⁶⁾

W(р)= ⁽⁴⁷⁾

3.3 Проведение z-преобразования

Для импульсных систем характерно построение решетчатых функций.

Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа.

Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое z-преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него.Z-преобразование проведем по формуле:

, ⁽⁴⁸⁾

где и - показатели цифрового преобразования. В рамках курсовой работы принимает их равными 1;

- передаточная функция импульсной системы.

Воспользуемся программным продуктом MathLAB для получения искомой передаточной функции уже в форме z-преобразования. Создадим переменную передаточной функции:

>> W=tf([3200 32001600 48000000 16000000],[2 26803 68053800 74030000 10000000]);

Проведем z-преобразование с осуществлением выборки времени 0.6:

>> W=c2d(W,0.6)

Transfer function:

0.5792 z^3 - 0.7621 z^2 + 0.2448 z + 3.185e-018

-------------------------------------------------------

z^4 - 1.482 z^3 + 0.5205 z^2 + 2.649e-017 z + 9.01e-035

Получили передаточную функцию:

⁽⁴⁹⁾

3.4 Определение устойчивости системы

Алгебраический критерий Шур-Кона по характеристическому уравнению замкнутой системы позволяет судить об устойчивости импульсной системы. В нашем случае получили характеристическое уравнение:

⁽⁵⁰⁾

Корни характеристического уравнения

⁽⁵¹⁾

будут лежать внутри единичной окружности (что указывает на устойчивость системы), если его коэффициенты удовлетворяют следующим условиям:

для нечетных определителей,

для четных определителей,

где - определить Шур-Кона.

Коэффициенты характеристического уравнения для исходной передаточной функции импульсной системы:

Составим определители Шур-Кона:

⁽⁵²⁾

⁽⁵³⁾

⁽⁵⁴⁾

⁽⁵⁵⁾

Подставив значения коэффициентов в выражения (52) – (55), получаем:

Таким образом, условия Шур-Кона выполняются, система является устойчивой.