4. Построение ачх линейной части системы

АЧХ строиться для того, чтобы определить косвенные оценки качества системы.

Для того, чтобы определить АЧХ системы, необходимо в передаточной функции р заменить на jw, знаменатель уравнения помножить на сопряженное выражение, выделить мнимую и вещественную части по формулам определить АЧХ:

АЧХ:

, (16)

где - действительная часть передаточной функции;

- мнимая часть передаточной функции.

Используя прикладную программу MathCAD вычислим АЧХ по формуле (13). График АЧХ изображен на рисунке 7.

Определим по графику косвенные оценки качества системы:

- амплитуда при нулевой частоте A(0)=1;

- максимальная амплитуда А_max=5.2;

- резонансная частота w_p=180 Гц;

- частота среза, при которой амплитуда, равна 0.1 w_cp=475 Гц;

- полоса пропускания (промежуток частот, при котором значения амплитуды больше ): 175 Гц<<200 Гц.

, Гц

Рисунок 7 – Амплитудо – частотная характеристика линейной части системы

4. Определение устойчивости линейной части системы по критерию Гурвица

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительными.

По коэффициентам характеристического уравнения составляется определитель Гурвица. Характеристическое уравнение – это знаменатель передаточной функции:

(17)

Выпишем коэффициенты характеристического уравнения:

Для нахождения определителя по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго, затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз с убывающим индексом.

Составленный определитель называется главным определителем Гурвица, он имеет порядок совпадающий с порядком характеристического уравнения. Из главного определителя составляются частные определители первого, второго, третьего и так далее порядков их образования из главного определителя.

Вычисляя главный определитель и частные определители, Гурвиц установил, для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители были положительны. Если хотя бы один определитель отрицательный, то система неустойчива.

Определитель Гурвица и миноры для данного характеристического уравнения:

⁽¹⁸⁾

>0

⁽¹⁹⁾

>0

⁽²⁰⁾

>0

⁽²¹⁾

>0

a1=3*10⁵ >0 (22)

Все миноры определителя Гурвица больше ноля, следовательно система устойчива.

4. Определение устойчивости линейной части системы по критерию Найквиста

Критерий Найквиста позволяет по годографу амплитудной фазовой характеристики системы судить об устойчивости замкнутой системы. Годограф имеет действительную и мнимую оси, на которых откладываются соответственно действительные и мнимые значения передаточной функции в зависимости от частоты. Критерий Найквиста можно сформулировать следующим образом: САР, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если годограф не охватывает точку (-1, j0). В противном случае, при неустойчивости системы, годограф охватывает эту точку в положительном направлении раз, где p – количество корней.

Построим годограф, используя MathCad. На графике присутствуют обозначения:

- мнимая часть передаточной функции W(jω).

^{- действительная часть передаточной функции W(jω).}

Рисунок 8 – Годограф Найквиста

Система является устойчивой, поскольку годограф Найквиста не охватывает точку с координатами (-1;0).

Вывод.

Проведя ряд упрощений предложенной исходной схемы, была получена передаточная функция, преобразовав которую, был получен ряд значений характеризующих систему.

Анализ этих значений и характеристик показывает, что система устойчива и точна в регулировании. Система имеет затухающий периодический переходный процесс.

Для системы массобмена аппарат работает весьма быстро, так как время регулирования системы t_р=1.9c. Полоса пропускания частот системы 175Гц<<200Гц.

2 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ

2.1 Структурная схема с нелинейным элементом

Добавим в схему нелинейный элемент NLE с нелинейной характеристикой реле с гистерезисом. Полученная схема приведена на рисунке 9, статическая характеристика элемента – на рисунке 10.

W_ОУ

W_{Рег. 1}

W_{Рег. 2}

W_ИМ1

W_ИМ2

W_Дm

W_Драсх

NLE

u

Рисунок 9 – Структурная схема нелинейной системы

Рисунок 10 - Статическая характеристика нелинейного элемента

Численные значения передаточных функций описываются выражениями (1) – (8).

Отрезок (-2, 2) называется шириной петли гистерезиса, в ряде случаев ширина петли должна быть большой и это является полезным для системы, а в ряде случаев петля гистерезиса приводит к нежелательным последствиям, поэтому ее стремятся уменьшить. Приведенной характеристикой обладают электромагнитные реле и электромагниты. Обычно для электромагнитный реле величина «2» называется порогом срабатывания, а величина «-2» - порогом отпускания.

2.2 Упрощение структурной схемы нелинейной системы

По правилам преобразования структурных схем преобразуем нелинейную систему (рисунок 11):

⁽²³⁾

⁽²⁴⁾

⁽²⁵⁾

⁽²⁶⁾

W₄

A

W₃

W₁

u

NLE

W₂

Рисунок 11 – Вид 1 структурной схемы нелинейной системы

Перенесем узел А через звено W₃, получаем схему, изображенную на рисунке 12. В итоге получаем схему, изображенную на рисунке 13. Полученные промежуточные передаточные функции:

⁽²⁷⁾

⁽²⁸⁾

W₃

W₁

W₄

W₂

u

NLE

1/W₃

A

Рисунок 12 - Вид 2 структурной схемы нелинейной системы

Рисунок 14 - Вид 3 структурной схемы нелинейной системы

Полученную схему разрываем в месте обратной связи и насильственно замыкаем данную цепь единичной ООС (рисунок 15) и запишем уравнение линейной части:

⁽²⁹⁾

Используя программу MathCad для преобразования функций, получим выражение вида:

(30)

W_л

NLE

u

Рисунок 15 - Вид 4 структурной схемы нелинейной системы

2.3 Построение фазового портрета

Передаточная функция линейной системы есть или

(31)

Подставляя в формулу (31) значение передаточной функции получим:

(32)

Приведенную формулу можно записать в виде:

(33)

Воспользуемся пакетом MathCad для решения этого дифференциального уравнения.

Введем замену и исключим из правой части уравнения производную:

(34)

Для того чтобы построить фазовый портрет, необходимо, чтобы степень числителя и знаменателя не превышала вторую степень, поэтому элементы выше второй степени исключаем. Тогда получим:

(35)

(36)

Так как в качестве нелинейного элемента используется реле с гистерезисом со статической характеристикой, представленной на рисунке 10, то подставляя значение для четырех участков, получим систему:

(37)

Создадим матрицу для решения дифференциального уравнения в программе MathCad:

⁽³⁸⁾

В данной матрице реализовано условие перехода от одного уравнения к другому. Зададим матрицы для двух начальных условий:

^{, (39)}

Возьмем количество точек равным 1000 и конечное время интегрирования 200, то матрица решений запишется как:

(40)

Построим фазовый портрет

Рисунок 17 - Фазовый портрет нелинейной системы

Построим переходные процессы нелинейной системы.

t , с

Рисунок 18 – Переходный процесс нелинейной системы

Вывод.

На рисунке 17 представлен фазовый портрет нелинейной системы. Из графика видно, что при различных начальных условиях система будет оставаться устойчивой. С течением времени процесса амплитуда колебаний будет уменьшаться, система придет к устойчивому равновесию – точке (-0,2;11) на рисунке 17, то есть произойдет процесс переключения. Устойчивость системы подтверждает график переходного процесса.

3 Исследование системы с импульсным элементом

3.1 Техническое задание

По заданию проведем z-преобразование данной системы. Для этого первый элемент системы (регулятор 2) на рисунке 2 и сумматор заменим на цифровой элемент.

Рисунок 19 – Структурная схема импульсной системы

Передаточная функция цифрового элемента: W_цэ принимаем равным единице. Другие значения передаточных функций приведены в выражениях (1) – (8).

3.2 Нахождение передаточной функции замкнутой системы

Упростим структурную схему (показано на рисунке 20). Передаточные функции элементов:

⁽⁴¹⁾

⁽⁴²⁾

⁽⁴³⁾

⁽⁴⁴⁾

Рисунок 20 – Вид 1 структурной схемы цифровой системы

Найдем общую передаточную функцию замкнутой системы:

⁽⁴⁵⁾

⁽⁴⁶⁾

W(р)= ⁽⁴⁷⁾

3.3 Проведение z-преобразования

Для импульсных систем характерно построение решетчатых функций.

Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа.

Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое z-преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него.Z-преобразование проведем по формуле:

, ⁽⁴⁸⁾

где и - показатели цифрового преобразования. В рамках курсовой работы принимает их равными 1;

- передаточная функция импульсной системы.

Воспользуемся программным продуктом MathLAB для получения искомой передаточной функции уже в форме z-преобразования. Создадим переменную передаточной функции:

>> W=tf([3200 32001600 48000000 16000000],[2 26803 68053800 74030000 10000000]);

Проведем z-преобразование с осуществлением выборки времени 0.6:

>> W=c2d(W,0.6)

Transfer function:

0.5792 z^3 - 0.7621 z^2 + 0.2448 z + 3.185e-018

-------------------------------------------------------

z^4 - 1.482 z^3 + 0.5205 z^2 + 2.649e-017 z + 9.01e-035

Получили передаточную функцию:

⁽⁴⁹⁾

3.4 Определение устойчивости системы

Алгебраический критерий Шур-Кона по характеристическому уравнению замкнутой системы позволяет судить об устойчивости импульсной системы. В нашем случае получили характеристическое уравнение:

⁽⁵⁰⁾

Корни характеристического уравнения

⁽⁵¹⁾

будут лежать внутри единичной окружности (что указывает на устойчивость системы), если его коэффициенты удовлетворяют следующим условиям:

для нечетных определителей,

для четных определителей,

где - определить Шур-Кона.

Коэффициенты характеристического уравнения для исходной передаточной функции импульсной системы:

Составим определители Шур-Кона:

⁽⁵²⁾

⁽⁵³⁾

⁽⁵⁴⁾

⁽⁵⁵⁾

Подставив значения коэффициентов в выражения (52) – (55), получаем:

Таким образом, условия Шур-Кона выполняются, система является устойчивой.