4.Оценка устойчивости замкнутой системы с помощью критериев Михайлова

Критерий устойчивости Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по поведению вектора полинома замкнутой системы на комплексной плоскости.

Характеристический полином замкнутой системы:

Подставим некоторые значения частоты:

Таблица 1

	U()	V()
0	0.036	0
	-0.9062	0
55.87	0	-10.044
121.625	0	-112.713

Листинг программы:

>>>> w=0:pi/5:20 (w=0:pi/100:500);

>> X=0.000000208*power(w,4)-0.00308*power(w,2)+0.036;

>> Y=-0.000064*power(w,3)+0.02*w;

>> plot(X,Y);

>> grid;

Рис. 3 - Годограф Михайлова

Согласно критерию Михайлова, для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вектор годографа Михайлова при изменении частоты от 0 до начинал движение из точки, лежащей на положительной вещественной полуоси и, вращаясь в «+» направлении (против часовой стрелки) и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательноn квадрантов (где n-порядок характеристического уравнения системы), повернувшись на угол .

В данном случае система устойчива, так как годограф проходит 4 квадранта (n=4) в нужной последовательности.

5.Оценка запасов устойчивости системы по модулю и по фазе, пользуясь афх

Листинг программы в среде Octave:

w=tf([0.036],[ 0.000000208 0.000064 0.00308 0.02 0]);

nyquist(w)

Рис. 4 - График АФХ разомкнутой системы W(j)

Для определения запаса устойчивости по фазе, проведем из начала координат окружность единичного радиуса. Годограф пересекает эту окружность в двух точках, соответствующих частотам среза . Уголмежду отрицательной вещественной полуосью и векторами (0;) достаточeн, следовательно, система обладает запасами устойчивости по фазе.

Чтобы определить запасы устойчивости системы по модулю, нужно рассчитать расстояние m между точкой пересечения годографа с действительной осью и критической точкой (-1;j0). Это расстояние больше 1, значит, система обладает достаточными запасами устойчивости по модулю.

6. Построение лах и лфх разомкнутой системы в Matlab. Оценка запасов устойчивости системы по модулю и по фазе.

Для того, чтобы получить ЛАХ и ЛФХ разомкнутой нескорректированной линейной системы, сначала построим структурную модель этой системы в Simulink:

Рис. 5 - Структурная схема разомкнутой системы

ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы, построенные с помощью пакета Matlab изображены на рисунке 6.

Листинг программы в среде Matlab:

w=tf([0.036],[ 0.000000208 0.000064 0.00308 0.02 0]);

margin(w);

Рис. 6 - ЛАХ и ЛФХ разомкнутой нескорректированной системы

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ) – это АЧХ звена, построенная в логарифмических шкалах:

Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФХ) – имеет логарифмический масштаб только по оси частот.

Запас устойчивости системы по модулю:

20lg L=-8.2; L=0,38; m=1-L =0,62;

где L – запас устойчивости по амплитуде, который показывает, на какую величину необходимо изменить коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы замкнутая система оказалось

на границе устойчивости.

Запас устойчивости системы по фазе: =180-119,7=60,3.