
- •Введение
- •Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений Постановка задачи
- •Приближенные (итерационные) методы решения нау
- •Метод деления отрезка пополам (дихотомии).
- •Метод простой итерации
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона (касательных)
- •Метод хорд
- •Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Постановка задачи
- •Прямые методы решения слау Метод Крамера
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Метод прогонки
- •Итерационные методы решения линейных алгебраических систем Метод простой итерации
- •Метод Якоби
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •Аппроксимация функций
- •Постановка задачи интерполяции
- •Локальная интерполяция Кусочно-постоянная интерполяция
- •Кусочно-линейная интерполяция
- •Кубический интерполяционный сплайн
- •Глобальная интерполяция
- •Полином Лагранжа
- •Подбор эмпирических формул
- •Метод наименьших квадратов
- •Численное интегрирование Постановка задачи
- •Формулы прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи
- •Приближенные методы решения задачи Коши для оду первого порядка
- •Метод Эйлера
- •Модифицированный метод Эйлера
- •Методы Рунге-Кутты
- •Численные методы решения систем оду первого порядка
- •Метод конечных разностей решения краевых задач для оду Постановка задачи
- •Аппроксимация производных
- •Примеры решения задач и рекомендации к экзамену
Метод Гаусса-Зейделя
В
отличие от метода Якоби, в котором
вычисления всех компонент вектора
-го
приближения проводилось однообразно,
в методе Гаусса-Зейделя для расчета
-й
компоненты следующего приближения
используется уже вычисленное на этом,
т.е.
-м
шаге, новые значения первых
компонент:
Или,
в компактном виде:
,
i=1,
2, …, m. (2.12)
Достаточное условие сходимости этого метода, как и для методы Якоби, является условие диагонального преобладания:
,
.
ПРИМЕР 2.6. Найдем решение СЛАУ из Примера 2.4 методом Гаусса-Зейделя.
.
Расчетные формулы:
.
Таблица итераций выглядит в данном случае следующим образом:
Номер итерации |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1.25 |
0.25 |
0.075 |
1.25 |
2 |
1.10625 |
0.32125 |
0.132375 |
0.14375 |
3 |
1.056281 |
0.339756 |
0.151067 |
0.049969 |
4 |
1.042355 |
0.344374 |
0.156168 |
0.013926 |
5 |
1.038771 |
0.345504 |
0.157469 |
0.003584 |
Здесь
,
,
и т.д.
Из таблицы видно, что нужная точность достигнута уже на 5-ой итерации вместо 11-ой по методу простой итерации.
При
реализации в Excel
расчетные формулы для
примут вид:
=1/$B$1*($G$1-$C$1*C6-$D$1*D6),
=1/$C$2*($G$2-$B$2*B7-$D$2*D6),
=1/$D$3*($G$3-$B$3*B7-$C$3*C7).
Аппроксимация функций
Слово «аппроксимация» происходит от латинского approximo — приближаюсь. Аппроксимировать – это означает приближенно заменить. Задачи интерполяции возникают при обработке результатов экспериментов, когда измерения какой-либо величины выполнены в конечном числе точек. Требуется найти промежуточные значения этой функции. Это так называемая задача о восстановлении функции. Кроме того, при проведении расчетов сложные функции удобно заменять (аппроксимировать) алгебраическими многочленами или другими элементарными функциями, которые достаточно просто вычисляются (задача о приближении функции). Методы интерполяции используются для приближенного интегрирования и решения дифференциальных уравнений, а также являются основой компьютерной графики и других современных цифровых технологий.
Постановка задачи интерполяции
На
интервале
заданы точки
,
;
,
и значения неизвестной функции в этих
точках
,
.
Требуется найти функцию
,
принимающую в точках
те же значения
.
Точки
будем называть узлами
интерполяции,
а условия
–
условиями
интерполяции.
При этом
будем искать только на отрезке
.
Если необходимо найти функцию вне
отрезка, то такая задача называется
задачей экстраполяции.
Мы будем рассматривать только задачи
интерполяции.
Поставленная
задача имеет много решений, т.к. через
заданные точки
,
,
можно провести
бесконечно много кривых, каждая из
которых будет графиком функции, для
которой выполнены все условия интерполяции.
Для практики важен случай аппроксимации
функции многочленами, т.е.
,
где
– постоянные коэффициенты.
Все
методы интерполяции можно разделить
на локальные
и глобальные.
В случае локальной
интерполяции
на каждом интервале
строится
отдельный полином. В случае глобальной
интерполяции
отыскивается единый полином на всем
интервале
.
При этом искомый полином называется
интерполяционный
полиномом.