![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений Постановка задачи
- •Приближенные (итерационные) методы решения нау
- •Метод деления отрезка пополам (дихотомии).
- •Метод простой итерации
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона (касательных)
- •Метод хорд
- •Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Постановка задачи
- •Прямые методы решения слау Метод Крамера
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Метод прогонки
- •Итерационные методы решения линейных алгебраических систем Метод простой итерации
- •Метод Якоби
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •Аппроксимация функций
- •Постановка задачи интерполяции
- •Локальная интерполяция Кусочно-постоянная интерполяция
- •Кусочно-линейная интерполяция
- •Кубический интерполяционный сплайн
- •Глобальная интерполяция
- •Полином Лагранжа
- •Подбор эмпирических формул
- •Метод наименьших квадратов
- •Численное интегрирование Постановка задачи
- •Формулы прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи
- •Приближенные методы решения задачи Коши для оду первого порядка
- •Метод Эйлера
- •Модифицированный метод Эйлера
- •Методы Рунге-Кутты
- •Численные методы решения систем оду первого порядка
- •Метод конечных разностей решения краевых задач для оду Постановка задачи
- •Аппроксимация производных
- •Примеры решения задач и рекомендации к экзамену
Метод хорд
В
этом методе кривая
заменяется прямой линией – хордой,
стягивающей точки
и
.
В зависимости от знака выражения
метод хорд имеет два варианта, изображенных
на рис. 1.6, а, б.
Пусть
(рис. 1.6, а). Тогда
,
точка
будет оставаться неподвижной. Следующее
приближение
находим как точку пересечения хорды,
соединяющей точки
и
с осью
.
Поскольку уравнение хорды записывается
как
,
то точка пересечения хорды с осью
находится из выражения:
.
|
|
Рис.
1.6. Метод
хорд для
|
Пусть
теперь
(рис. 1.6, б). Тогда
,
точка
неподвижна. Проведем хорду, соединяющую
точки
и
:
.
Вычисляем точку пересечения хорды с
осью
:
.
На следующей итерации в качестве
надо взять вычисленное значение
и т.д. Таким образом, мы получим следующую
последовательность вычислений в
зависимости от вида функции:
Если
,
то
и
.
Если же
,
то
и
,
где
- номер итерации.
Окончание
итерационного цикла в данном методе
происходит либо по условию малости
невязки уравнения:
,
либо по условию
.
ПРИМЕР
1.5. Найти
первый и третий корень уравнения
методом хорд.
Концы
интервала изоляции для первого корня
и
,
соответственно. Проверим знак выражения
для данного уравнения:
.
Таким образом, расчет ведется по формулам:
и
.
В результате получим таблицу:
Номер итерации |
|
|
|
0 |
-1 |
1 |
- |
1 |
-1.03571 |
0.345618 |
0.035714 |
2 |
-1.0479 |
0.117007 |
0.012187 |
3 |
-1.05201 |
0.039334 |
0.004108 |
4 |
-1.05339 |
0.013192 |
0.001379 |
5 |
-1.05385 |
0.004421 |
0.000462 |
Заданная точность достигнута на пятой итерации.
Для
третьего корня
,
,
и
,
следовательно, расчет ведется по вторым
формулам:
и
.
Результаты вычислений показаны ниже:
Номер итерации |
|
|
|
0 |
4 |
-9 |
- |
1 |
4.9 |
-0.711 |
0.9 |
2 |
4.941555 |
-0.02147 |
0.041555 |
3 |
4.942783 |
-0.00062 |
0.001229 |
4 |
4.942819 |
-1.8E-05 |
3.57E-05 |
Заданная точность достигнута на четвертой итерации.
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
К решению систем линейных алгебраических уравнений сводятся многочисленные практические задачи (по некоторым оценкам, более 75% всех задач). Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики. Существует много методов и современных пакетов прикладных программ для решения СЛАУ, но для того, чтобы их успешно использовать, необходимо разбираться в основах построения методов и алгоритмов, иметь представления о недостатках и преимуществах используемых методов.
Постановка задачи
Требуется
найти решение системы
линейных уравнений, которая в общем
виде записывается в виде
. (2.1)
В матричном виде эта система уравнений записывается как:
(2.1)
где
- матрица системы,
- вектор правых частей,
- вектор неизвестных.
Таким
образом, задача состоит в том, чтобы при
известных коэффициентах матрицы
и элементах вектора
найти такие
значения
,
что при подстановке их в систему уравнений
(2.1) они превращаются в тождества.
Необходимым
и достаточным условием существования
единственного решения СЛАУ является
условие
,
т.е. определитель матрицы
не равен нулю. В случае равенства нулю
определителя матрица
называется вырожденной и при этом СЛАУ
(2.1) либо не имеет решения, либо имеет их
бесчисленное множество. В дальнейшем
мы будем предполагать наличие единственного
решения.
Все методы решения линейных алгебраических задач можно разбить на два класса: прямые (точные) и итерационные (приближенные).