- •Введение
- •Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений Постановка задачи
- •Приближенные (итерационные) методы решения нау
- •Метод деления отрезка пополам (дихотомии).
- •Метод простой итерации
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона (касательных)
- •Метод хорд
- •Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Постановка задачи
- •Прямые методы решения слау Метод Крамера
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Метод прогонки
- •Итерационные методы решения линейных алгебраических систем Метод простой итерации
- •Метод Якоби
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •Аппроксимация функций
- •Постановка задачи интерполяции
- •Локальная интерполяция Кусочно-постоянная интерполяция
- •Кусочно-линейная интерполяция
- •Кубический интерполяционный сплайн
- •Глобальная интерполяция
- •Полином Лагранжа
- •Подбор эмпирических формул
- •Метод наименьших квадратов
- •Численное интегрирование Постановка задачи
- •Формулы прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи
- •Приближенные методы решения задачи Коши для оду первого порядка
- •Метод Эйлера
- •Модифицированный метод Эйлера
- •Методы Рунге-Кутты
- •Численные методы решения систем оду первого порядка
- •Метод конечных разностей решения краевых задач для оду Постановка задачи
- •Аппроксимация производных
- •Примеры решения задач и рекомендации к экзамену
Метод Ньютона (касательных)
Для уравнений (1.1) метод Ньютона определяется формулой: . Суть метода состоит в замене нелинейной функции f(x) линейной. Геометрическая иллюстрация метода представлена на рис. 1.5. Участок кривой на отрезке заменяется отрезком касательной, проведенной из точки к графику функции . Уравнение касательной имеет вид . Найдем точку пересечения касательной с графиком функции , т.е. с осью абсцисс, и обозначим ее . Тогда уравнение касательной в этой точке будет иметь вид . Отсюда можно найти .
Рис. 1.5. Графическая интерпретация метода Ньютона
Можно показать, что , т.е. метод сходится со вторым порядком.
Метод Ньютона можно трактовать как метод простой итерации, если функцию выбрать в виде .
Замечание. Если известен интервал изоляции, в котором не меняет знак, то в качестве начального приближения берут тот конец интервала изоляции, для которого знаки и совпадают.
ПРИМЕР 1.4. Найдем с помощью метода Ньютона третий корень уравнения , лежащий на интервале , с точностью . Сначала убедимся, что не меняет знака на этом отрезке. при , т.е. на интервале [4,5]. Так как , то на этом конце знаки и совпадают и .
Вычисления оформим в виде таблицы:
Номер итерации |
|
|
|
|
0 |
5 |
1 |
18 |
|
1 |
4.944444 |
0.027606 |
17.00926 |
0.055556 |
2 |
4.942821 |
2.33E-05 |
16.98059 |
0.001623 |
3 |
4.94282 |
1.66E-11 |
16.98057 |
1.37E-06 |
Здесь , , .
В качестве корня можно взять значение: . Из таблицы видно, что процесс сошелся уже на второй итерации.
Для того, чтобы сравнить методы дихотомии и касательных, найдем первый корень уравнения на отрезке методом Ньютона:
Так как , то на интервале , а так как , то .
Номер итерации |
||||
0 |
-2 |
-27 |
39 |
- |
1 |
-1.30769 |
-5.41966 |
23.82249 |
0.692308 |
2 |
-1.08019 |
-0.50182 |
19.46272 |
0.227502 |
3 |
-1.05441 |
-0.00613 |
18.9882 |
0.025783 |
4 |
-1.05408 |
-9.5E-07 |
18.98229 |
0.000323 |
Заданная точность достигается на 4-ой итерации. Напомним, что метод дихотомии (Пример 1.2) достиг точности 0,001 лишь на 10-ой итерации.
Вычислим второй корень нашего уравнения на отрезке . Поскольку вторая производная меняет знак на отрезке при , уменьшим интервал изоляции так, чтобы изменения знака не происходило. Рассмотрим интервал . Вычислим значения функции и второй производной на левом конце отрезка: , .
Поскольку функция и вторая производная имеют один знак, в качестве начального приближения выбираем .
Номер итерации |
||||
0 |
2.1 |
0.101 |
-8.97 |
- |
1 |
2.11126 |
3.95E-05 |
-8.96286 |
0.01126 |
2 |
2.111264 |
6.47E-12 |
-8.96286 |
4.4E-06 |
3 |
2.111264 |
0 |
-8.96286 |
7.22E-13 |
В сравнении с методом простой итерации значение корня было получено за две итерации вместо шести.
Эти примеры показывают, что метод Ньютона сходится быстрее, чем метод дихотомии и метод простой итерации. Но для его использования необходимо выбирать начальное приближение, достаточно близкое к корню.
Упрощенный метод Ньютона. Эта модификация метода Ньютона используется, если производная представляет собой сложную функцию, и для ее вычисления на каждой итерации тратится много времени. Зададим – начальное приближение и вычислим производную . На следующих итерациях используется вычисленное значение производной: . Это упрощение несколько замедляет процесс сходимости к решению, однако сокращает время каждого итерационного цикла.