Прямые методы решения слау Метод Крамера

Метод Крамера относится к классу точных методов решения СЛАУ. На практике он часто используется при небольшой размерности системы . Формулы метода Крамера решения СЛАУ выглядят как:

, () (2.2)

Эти формулы позволяют находить неизвестные в виде дробей, знаменателем которых является определитель матрицы системы, а числителем – определители матриц , получаемых из заменой i-го столбца столбцом правых частей. Так матрица получается из матрицы заменой первого столбца на столбец правых частей .

Размерность системы (т.е. число неизвестных ) является главным фактором, из-за которого формулы Крамера не могут быть использованы для численного решения СЛАУ большого порядка. При непосредственном раскрытии определителей решение системы с неизвестными требует порядка арифметических операций. Таким образом, для решения системы, например, из уравнений потребуется совершить операций, что не под силу даже самым мощным современным ЭВМ. Для небольших m решение можно найти с помощью функций Excel.

ПРИМЕР 2.1. Рассмотрим метод Крамера на примере системы двух линейных уравнений вида . Найдем определители:

,, . Решение по формулам Крамера: , .

ПРИМЕР 2.2. Решить методом Крамера СЛАУ

.

Занесем на рабочий лист матрицу СЛАУ, вектор правых частей ,

A=, f=, а также вспомогательные матрицы

A₁= A₂= A₃=.

С помощью функции Excel МОПРЕД вычислим  = det A = 26, ₁ = det A₁ = ‑ 60, ₂ = det A₂ = 94, ₃ = det A₃ = ‑ 20. По формулам (2.2) находим x₁ = ₁/ = ‑ 2.3077, x₂ = 2/ = 3.6154, x₃ = ₃/ = ‑ 0.7692.

Метод обратной матрицы

Если , то существует матрица , обратная к данной. Умножим исходную систему уравнений (2.1) на обратную матрицу слева. Получим

.

Известно, что произведение обратной матрицы на исходную дает единичную матрицу , и, следовательно, получаем , или

(2.3)

Решение СЛАУ свелось к умножению известной обратной матрицы на вектор правых частей. Таким образом, задача решения СЛАУ и задача нахождения обратной матрицы связаны между собой, поэтому часто решение СЛАУ называют задачей обращения матрицы. Проблемы использования этого метода те же, что и при использовании метода Крамера: нахождение обратной матрицы – трудоемкая операция. Однако для небольших m решение может быть получено с помощью функций Excel.

ПРИМЕР 2.3. С помощью метода обратной матрицы решить систему

Занесем на рабочий лист Excel матрицу коэффициентов

и вектор правых частей .

Выделим на рабочем листе область размером ячейки для обратной матрицы и вызовем функцию МОБР. В поле Массив занесем адреса ячеек исходной матрицы A, и, нажав комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, получим A^-1:

0.195489	-0.16541	-0.02256
-0.1015	0.278195	-0.00752
-0.07895	0.105263	0.105263

Полученную обратную матрицу умножим на вектор правых частей . Для этого выделим столбец из трех ячеек и вызовем функцию МУМНОЖ. В поля Массив 1 и Массив 2 занесем адреса ячеек, в которых находятся найденная обратная матрица и вектор правых частей, после чего, нажав комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, получим решение СЛАУ

1.037594

0.345865

0.157895

Замечание. Если одна из клавиш Ctrl или Shift не нажата, вычисления будут выполнены не во всем выделенном диапазоне, а только в одной ячейке. В этом случае весь процесс вызова функции необходимо повторить.