Запитання для самоперевірки

1 У яких положеннях щодо площин проекцій може перебувати пряма лінія?

2 Як називаються прямі, що паралельні, перпендикулярні чи довільно розташовані щодо площин проекцій?

3 Які властивості притаманні проекціям прямих, що паралельні, перпендикулярні чи довільно розташовані щодо площин проекцій?

4 Як можна визначити дійсну довжину відрізка прямої, розташованої довільно щодо площин проекцій?

5 Як побудувати проекції прямої, якщо відомі кути нахилу її до площин проекцій П₁, П₂?

6 Чи можна побудувати горизонтальну проекцію відрізка прямої, якщо відома фронтальна проекція цього відрізка та кут нахилу його до площини П₁?

7 У яких взаємних положеннях можуть перебувати дві прямі лінії?

8 Назвіть властивості проекцій прямих, що перебувають у різних взаємних положеннях.

9 За яких умов прямий кут між двома прямими проекціюється без спотворення?

3 Площина

3.1 Подання площини на кресленні

Положення площини у просторі визначається:

• трьома точками, що не належать одній прямій;

• прямою і точкою, яка не належить цій прямій;

• двома паралельними прямими;

• двома прямими, що перетинаються;

• будь-якою плоскою фігурою.

Сукупність геометричних елементів, якими може бути визначена площина, називається визначником площини. На кресленні площина може бути подана проекціями її визначника, тобто проекціями вище названих фігур (рис. 3.1, 3.2). Слід зазначити, що будь-яка площина із представлених на рис. 3.1 може бути перезадана іншим визначником. Наприклад, якщо через точки А(А₁, А₂) і В(В₁, В₂) площини Γ(А, В, С) провести пряму, то матимемо площину, яка подана аналогічно площині Δ(К, l), а якщо через точку С(С₁, С₂) провести пряму, паралельну прямій АВ, то матимемо Рис. 3.1

площину, аналогічну

площині Λ(a||b). Площини Σ(f; h) і Ψ(f°; h°) (рис. 3.2) подані лініями рівня – фронталлю f(f₁, f₂) та горизонталлю h(h₁; h₂). Зокрема, нульові фронталь f° і горизонталь h° площини Ψ(f°; h°) називаються слідами площини. Сліди площини – це лінії Рис. 3.2

перетину площини з площинами проекцій П₁ і П₂.

3.2 Побудова слідів площини

Сліди площини, яка подана будь-яким чином, можна побудувати, якщо у цій площині узяти дві які-небудь прямі і побудувати їхні сліди. Сполучивши однойменні сліди цих прямих, отримаємо сліди площини. Побудова слідів площини, поданої двома прямими AB i CD, що перетинаються, показана на рис. 3.3. Тут побудовані сліди F(F₁, F₂), H(H₁, H₂) прямої АВ і F'(F'₁, F'₂), H'(H'₁, H'₂) прямої CD. Фронтальні сліди F прямої AB і F' прямої CD визначають фронтальний слід f°(f°₁, f°₂) площини, а горизонтальні сліди H прямої АВ і H' прямої CD визначають горизонтальний слід h°(h°₁, h°₂) площини. Проекції f°₁ і h°₂ слідів будь-якої площини збігаються з віссю проекцій x₁₂. Фронтальний і горизонтальний сліди площини перетинаються між собою у точці, яка належить осі проекцій x₁₂. Рис. 3.3

3.3 Точка і пряма у площині

Точка належить площині, якщо вона розташована на прямій, інцидентній площині. Пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки, що розташовані у площині, або, якщо вона проходить через точку, що належить площині, і паралельна прямій, яка знаходиться у цій площині чи паралельній їй.

Хай на кресленні задана площина (ABC) (рис. 3.4). На будь-якій стороні трикутника ми можемо задати будь-яку точку. Наприклад, на проекції А₂С₂ сторони АС беремо довільну точку 1₂ і за лінією зв’язку знаходимо її горизонтальну проекцію 1₁. Аналогічно беремо на горизонтальній проекції А₁ В₁ сторони АВ довільну точку 2₁ і за лінією зв’язку знаходимо її Рис. 3.4

фронтальну проекцію 2₂. Сполучивши відрізком прямої точки 1(1₁, 1₂) і 2(2₁, 2₂) матимемо пряму 12(1₁2₁, 1₂2₂), яка побудована у заданій площині Γ(ΔАВС). Якщо одна з проекцій точки, що належить площині, вже задана, то для побудови іншої її проекції слід використати яку-небудь пряму, яка б належала площині і відповідна проекція її проходила через задану проекцію точки. На рис. 3.5 за заданою проекцією М₁ точки М, що належить площині Δ(m, n), побудована її фронтальна проекція М₂. Для цього через проекцію М₁ точки М проведена довільна проекція 1₁2₁ прямої 12, яка належить площині Δ. За лініями зв’язку побудована її фронтальна проекція 1₂2₂. А потім на цій проекції знайдена шукана проекція М₂ точки М. Використовуючи наведені побудови, можна у будь-якій площині будувати точки, Рис. 3.5

лінії чи будь-які плоскі фігури.