2 Проекції прямої

2.1 Пряма, що не паралельна жодній із площин проекцій

Пряма у просторі визначається двома точками. Задамо на комплексному кресленні дві довільно розташовані точки А(А₁, А₂) і В(В₁, В₂). Як відомо, через дві точки можна провести лише одну пряму. Сполучимо проекції точок А і В відрізками прямих – маємо дві проекції А₁В₁ і А₂В₂ відрізка АВ. Проекції відрізка можна продовжити у будь-який бік до нескінченності. Отже відрізок АВ однозначно визначає пряму нескінченної довжини. Ця пряма не паралельна і не перпендикулярна до жодної із площин проекцій П₁, П₂, П₃, оскільки точки А і В розташовані на різних відстанях від кожної із цих площин. Пряма, яка не паралельна і не перпендикулярна до жодної із площин проекцій, називається прямою загального положення (рис. 2.1). Її проекції не паралельні і не перпендикулярні осям проекцій. Відрізок такої прямої, а також кути нахилу її до площин проекцій на жодну із Рис. 2.1 Рис. 2.2

них не проекціюються без спотворення.

Пряма АВ нахилена під кутом  до площини П₁, під кутом  до площини П₂ і під кутом  до площини П₃. Відомо, що А₁В₁ = АВ*Cos, A₂B₂ = AB*Cos, A₃B₃ = AB*Cos. Пряму загального положення можна подати на кресленні не фіксуючи на ній будь-яких точок. Проекції такої прямої позначаються малими латинськими літерами, наприклад, l(l₁, l₂) (рис. 2.2).

2.2 Прямі, що паралельні та перпендикулярні

до площин проекцій

На відміну від прямої загального положення є прямі, які паралельні одній площині проекцій (вони називаються лініями рівня) або одночасно двом площинам проекцій (їх називають проекціювальними). На рис. 2.3 представлені лінії рівня: горизонтальна CD, фронтальна EF, профільна GH, та проекціювальні: горизонтально проекціювальна IJ (вертикальна), фронтально проекціювальна KL (глибинна), профільно проекціювальна MN (поздовжня). Пряма CD, яка паралельна горизонтальній площині проекцій (рис. 2.4), називається горизонтальною. Її фронтальна і профільна проекції паралельні осям проекцій відповідно х₁₂ та у₁₃. Горизонтальна проекція цієї прямої може бути розташованою під будь-яким кутом, крім 0º і 90º, до осі х₁₂. Усі точки прямої CD розташовані на однаковій відстані від площини П₁: Z_C = Z_D. Кут  = 0, Cos = 1, тому довжина горизонталь

ної проекції C₁D₁ відрізка CD дорівнює довжині самого відрізка CD: C₁D₁ = CD. Крім того, на горизонтальну лощину проекцій П₁ у натуральну величину також Рис. 2.3

проекціюються кути

β і γ нахилу прямої CD відповідно до площин П₂ і П₃.

Пряма EF, що паралельна фронтальній площині проекцій (рис. 2.5), називається фронтальною. Горизонтальна E₁F₁ і профільна E₃F₃ проекції прямої EF паралельні

осям відповідно x₁₂ і z₂₃, фронтальна E₂F₂ проекція Рис. 2.4

може бути розташованою

під будь-яким кутом, крім 0º і 90º, до осі х₁₂. Усі точки прямої EF однаково віддалені від площини П₂: Y_E = Y_F (X_E X_F; Z_E Z_F). Кут нахилу  = 0, тому довжина фронтальної проекції E₂F₂ відрізка EFдорівнює довжині самого відрізка EF: E₂F₂ =EF. Крім того, на площину П₂ у натуральну величину також проекціюються кути α і γ нахилу прямої EF відповідно до площин П₁ і П₃.

Пряма GH, яка паралельна профільній площині проекцій (рис. 2.6), називається профільною. Горизонтальна G₁H₁ і фронтальна G₂H₂ Рис. 2.5

проекції прямої GH паралельні

осям відповідно y₁ і z₂₃, а профільна G₃H₃ може бути розташованою під будь-яким кутом, крім 0º і 90º, до осі z₂₃. Усі точки прямої GH розташовані на однакових відстанях від площини П₃: X_G = X_H (Y_G Y_H; Z_G Z_H). Кут  = 0, тому довжина профільної проекції G₃H₃ відрізка GH дорівнює довжині самого відрізка GH: G₃H₃ = GH. Крім того, на площину П₃ у натуральну величину також проекціюються кути α і β нахилу прямої GH до площин П₁ і П₂.

Пряма KL (рис. 2.7, а, б), що перпендикулярна до площини П₁, називається горизонтально проекціювальною, або вертикальною. Її горизонтальна проекція вироджується в одну точку K₁ = L₁, а фронтальна і профільна проекції паралельні осі z₂₃. Відрізок прямої KL проекціюється у натуральну Рис. 2.6

величину на площинах П₂ і П₃, бо  = 0,  = 0.

Пряма MN, що перпендикулярна до площини П₂, називається фронтально проекціювальною, або глибинною. Фронтальна проекція прямої MN

Рис. 2.7

вироджується у точку M₂ = N₂, а горизонтальна і профільна проекції паралельні осі у₁₃ (рис. 2.7, а, в). Будь-який відрізок такої прямої проекціюється без спотворення на площинах П₁ і П₃ (α = 0, γ = 0 ).

У таблиці 3 подані порівняльні координати проекцій кінців відрізків прямих у залежності від їхніх положень щодо площин проекцій.

Таблиця 3 – Координати проекцій кінців відрізків

	AB загальн. полож.	CD1	EF2	GH3	IJ1	KL2	MN3
П1	xA  xB yA  yB	xC  xD yC  yD	xE  xF yE = yF	xG = xH yG  yH	xI = xJ yI = yJ	xK = xL yK  yL	xM  xN yM = yN
П2	xA  xB zA  zB	xC  xD zC = zD	xE  xF zE  zF	xG = xH zG  zH	xI = xJ zI  zJ	xK = xL zK = zL	xM  xN zM = zN
П3	yA  yB zA  zB	yC  yD zC = zD	yE = yF zE  zF	yG  yH zG  zH	yI = yJ zI  zJ	yK  yL zK = zL	yM = yN zM = zN

Пряма PQ, що перпендикулярна до площини П₃, називається профільно проекціювальною або поздовжньою. На площину П₃ пряма PQ проекціюється у точку, а проекції її на площинах П₁ і П₂ паралельні осі х₁₂

(рис. 2.7, а, г). Відрізок цієї прямої проекціюється без спотворення на площинах П₁ і П₂ тому, що  = 0,  = 0.