§38. Водне подібні атоми в квантовій фізиці

Розглянемо фізичну систему, яка складається з негативно зарядженого електрона, який перебуває в електричному полі позитивно зарядженого ядра. Таку систему будемо називати водне подібним атомом. Стаціонарне рівняння Шредінгера для водне подібного атома має вигляд

. (1)

О

Рис. 1

скільки кулонівське поле володіє центральною симетрією, то зручно перейти до сферичних координат (рис. 1), де положення довільної точки А описується трьома координатами . В цьому випадку рівняння Шредінгера набуває складнішого вигляду, але з’являється можливість представити хвильову функцію як добуток радіальної функції R(r) і кутової , тобто провести розділення змінних:

. (2)

Стандартні вимоги як до хвильової функції в цілому, так і до окремих складових забезпечуються лише при певних, дискретних значеннях не тільки енергії електрона, але і квадрату моменту імпульсу його орбітального руху , а також проекції цього моменту на вибраний напрямок (вісь z). Квантування вказаних характеристик визначається трьома квантовими числами: головним n, орбітальним (азимутальним) та магнітним наступним чином:

, де n=1,2,3,…, (3)

, де = 0,1,2,…, (n-1); (4)

, де . (5)

М

Рис.2

агнітне квантове число вказує на просторове квантування моменту імпульсу електрона: вектор моменту імпульсу електрона може мати лише такі орієнтації в просторі, що його проекції на вибрану вісь z (яка задається, як правило, напрямком магнітного поля) кратні (рис. 2).

Оскільки енергія електрона Е_n визначається лише головним квантовим числом n, а хвильова функція – усіма квантовими числами, то декільком станам з різними та відповідає одне значення енергії. Така ситуація називається квантовомеханічним виродженням. Наприклад, енергія Е₂ реалізується в чотирьох станах з хвильовими функціями . В загальному, кратність виродження дорівнює n².

Для основного стану (n = 1) хвильова функція має вигляд

Рис.4

. (6)

Імовірність знайти електрон в сферичному шарі товщиною dr, тобто в елементарному об’ємі , становить

(7)

а в шарі одиничної товщини –

. (8)

Як видно з рис. 4, залежність володіє різким максимумом при r = а₀. Отже, борівська орбіта в квантовій механіці може інтерпретуватись як геометричне місце точок, де імовірність перебування електрона – максимальна. Але, оскільки заряд електрона “розмазаний” по усьому атомі , то в квантовій механіці, у відповідності зі співвідношенням невизначеностей Гейзенберга, поняття орбіти (траєкторії) електрона втрачає зміст.

С

Рис. 3

тани електрона з різними значеннями орбітального квантового числа прийнято позначати наступним чином:

	0	1	2	3	4	.
Стан	s	p	d	f	g

І тому енергетичні рівні з різними n реалізуються наступними станами:

n = 1 –	стан	1s;
n = 2 –	стани	2s,	2p;
n = 3 –	стани	3s,	3p,	3d;
n = 4 –	стани	4s,	4p,	4d,	4f.

Стан 1 s є основним, усі інші стани – збуджені. Час життя електрона в збудженому стані складає ~.

Енергетична діаграма квантовомеханічного атома водню має вигляд (рис. 3), який дещо відрізняється від діаграми борівського атома. Як і раніше, квантова механіка не накладає жодного обмеження на зміну головного квантового числа. В цей же час зміна і регламентується правилами відбору

. (9)

Друге правило відбору тут не проявляється, але стає важливим, коли випромінюючі атоми перебувають в магнітному полі.