3). Годографы частотных характеристик разомкнутой и замкнутой системы.

Для суждения об устойчивости системы или звена, не вычисляя корней характеристического полинома применяют критерии устойчивости. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости. К алгебраическим относятся критерии Гурвица и Рауса, а к частотным – критерии Михайлова и Найквиста.

Геометрическое место точек конца вектора при изменении частоты в диапазоненазывается годографом вектора, или годографом Михайлова. Согласно критерию Михайлова, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора, начинаясь прина действительной положительной полуоси, с ростомот нуля до бесконечности обходил последовательно в положительном направлении(против часовой стрелки) n квадрантов, где n – порядок системы:

На практике более широкое по сравнению с критерием Михайлова применение нашел частотный критерий Найквиста, который позволяет судить об устойчивости системы по частотным характеристикам разомкнутой системы.

Если разомкнутая и замкнутая системы устойчивы, то изменение аргумента вектора равно нулю, следовательно, его годограф не охватывает начала координат. В противном случае, когда годографохватывает начало координат, изменение его аргумента не равно нулю и система в замкнутом состоянии неустойчива. Очевидно, что об изменении аргумента вектораудобнее судить по годографу частотной характеристики разомкнутой системы. Действительно, изменение аргумента векторабудет равно нулю, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами

. Отсюда следует формулировка критерия Найквиста: система радиоавтоматики, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами

. В том случае, когда годограф частотной характеристики охватывает эту точку, система неустойчива.

Годограф разомкнутой системы:

Увеличим

Как видно из годографа разомкнутой системы согласно критерию Михайлова-Найквиста замкнутая система не является устойчивой, так как годограф разомкнутой системы охватывает точку ().

Годограф замкнутой системы:

Увеличим

4). Логарифмические частотные характеристики разомкнутой и замкнутой систем

ЛЧХ разомкнутой системы.

Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы

Из графиков ЛЧХ разомкнутой системы видно, что она не имеет необходимого запаса устойчивости. В замкнутой системе так же не будут соблюдаться условия: по амплитуде не менее 12 Дб и по фазе не менее 30º.

ЛЧХ замкнутой системы:

Логарифмические частотные характеристики замкнутой системы

5). Переходный процесс в замкнутой системе при скачкообразном входном напряжении на оу в 5 b.

Для получения переходного процесса запишем нашу передаточную функцию относительно выхода:

Соберем схемувSimulink’е, для снятия нескорректированного переходного процесса в замкнутой системе:

График переходного процесса без коррекции будет выглядеть следующим образом: процесс неустойчив.

6). Обеспечение устойчивости замкнутой системы с запасом по амплитуде не менее 12 Дб и по фазе не менее 30º.

В процессе эксплуатации системы ее параметры (коэффициенты усиления, постоянные времени) из-за изменения внешних условий, колебаний напряжений источников энергии и других причин отличаются от расчетных значений. Если не принять определенных мер, то система может стать неустойчивой. Для исключения этого явления при проектировании следует обеспечить определенные запасы устойчивости системы, которые характеризуют близость годографа частотной характеристики разомкнутой системы к точке с координатами

(-1;j0). Запасы устойчивости определяются на двух частотах: частоте среза и критической частоте. На частоте среза АЧХ разомкнутой системы равна единице, на критической частоте ФЧХ принимает значение, равное.

Различают запас устойчивости по фазе и усилению. Запас по фазе показывает, на сколько ФЧХ разомкнутой системы на частоте среза отличается от .

Запас устойчивости по усилению определяет, во сколько раз нужно увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на грани устойчивости. Так как фазочастотная характеристика разомкнутой системы не зависит от коэффициента усиления, то при его изменении меняется только масштаб годографа, поэтому запас устойчивости по усилению вычисляется по формуле:

Оценка устойчивости по ЛЧХ

В том случае, когда годограф не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с координатами (-1;j0), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие. По ЛЧХ для нашей системы можно видеть, что это условие не выполняется, следовательно она не устойчива.

Для обеспечения необходимой устойчивости в разомкнутую систему необходимо ввести корректирующее звено.

Предположим, что корректирующее устройство найдено и качественные показатели процесса регулирования соответствуют желаемым. В этом случае передаточная функция разомкнутой системыможет рассматриваться как желаемая передаточная функция, определяющая желаемые частотные характеристики. Учитывая это, запишем желаемые логарифмические амплитудную и фазовую характеристики:

(1)

Поскольку желаемая и неизменяемая характеристики известны ,то из уравнения (1) находится ЛАХ последовательного корректирующего устройства, решая уравнение:

вычитанием из ординат характеристики 2 ординат асимптотической характеристики 1. Получим характеристику 3 последовательного корректирующего устройства. Этой характеристике соответствует передаточная функция

,следовательно,.

Корректируем систему и получаем:

Графики корректирующего звена, разомкнутой и результирующей системы

Графики корректирующего звена, замкнутой и результирующей системы Добавив корректирующее звено, мы получили более устойчивую систему.