1.4 Определение устойчивости системы по логарифмическим частотным характеристикам

А(w) – амплитудная частотная функция, модуль частотной передаточной функции разомкнутой системыW(jw).

φ(w) – аргументW(jw),φ(w)=argW(jw), фазовая частотная функция.

(18) (11) (19) (12)(20) (13)

Найдём ЛАЧХ разомкнутой системы. Для этого проанализируем разомкнутую систему (3):

1. Звенья - инерционные, каждое из этих звеньев даёт наклон -20 Дб/дек;

2. Звено - усилительное. Оно даёт нам сдвиг по осиL(w) на число 20LogK.

3. Звено - интегрирующее. Оно даёт нам наклон -20 Дб/дек.

Исходя из свойства L(w) можем записать:

(21)

Найдём сопрягающие частоты по формуле (22)

Рассчитаем параметры для построения ЛФЧХ разомкнутой системы, путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.

Значения углов вычисляются в диапазоне частот от минимальной частоты, соответствующей началу координат до частоты, при которой фазовый сдвиг превышает (–180^º).

По свойствам звеньев определим ЛФЧХ для каждого звена по отдельности:

- для усилительного звена ;

- для инерционного звена

-для интегрирующего .

Запишем ЛФЧХ для каждого звена в отдельности

;

;

Значения результирующей ЛФЧХ найдем как

(23)

Таблица 2 – Значения ЛФЧХ

Частота	Звено 1 усилительное	Звено 2 инерционное		Звено 3 инерционное		Звено 4 инерционное		Звено 5 интегратор	Результирующая ЛФЧХ
		w*T2		w*T3		w*T4	φ4(ω)	φ5(ω)
0,1	0	0,006	-0,344	0,043	-2,462	0,007	-0,372	-90,000	-93,179
0,3	0	0,018	-1,031	0,129	-7,351	0,020	-1,117	-90,000	-99,500
0,5	0	0,030	-1,718	0,215	-12,135	0,033	-1,862	-90,000	-105,715
0,7	0	0,042	-2,405	0,301	-16,753	0,046	-2,605	-90,000	-111,764
0,9	0	0,054	-3,091	0,387	-21,158	0,059	-3,348	-90,000	-117,597
1	0	0,060	-3,434	0,430	-23,269	0,065	-3,719	-90,000	-120,423
2	0	0,120	-6,843	0,860	-40,699	0,130	-7,407	-90,000	-144,949
3	0	0,180	-10,205	1,290	-52,221	0,195	-11,035	-90,000	-163,461
4	0	0,240	-13,497	1,720	-59,831	0,260	-14,575	-90,000	-177,903
5	0	0,300	-16,700	2,150	-65,061	0,325	-18,005	-90,000	-189,767
6	0	0,360	-19,800	2,580	-68,819	0,390	-21,307	-90,000	-199,927
7	0	0,420	-22,784	3,010	-71,627	0,455	-24,467	-90,000	-208,879
8	0	0,480	-25,643	3,440	-73,796	0,520	-27,476	-90,000	-216,916
9	0	0,540	-28,371	3,870	-75,517	0,585	-30,330	-90,000	-224,218
10	0	0,600	-30,966	4,300	-76,914	0,650	-33,026	-90,000	-230,906
14	0	0,840	-40,033	6,020	-80,574	0,910	-42,305	-90,000	-252,913
15	0	0,900	-41,990	6,450	-81,193	0,975	-44,278	-90,000	-257,461
16	0	0,960	-43,834	6,880	-81,736	1,040	-46,127	-90,000	-261,697
20	0	1,200	-50,198	8,600	-83,374	1,300	-52,435	-90,000	-276,007
30	0	1,800	-60,950	12,900	-85,574	1,950	-62,855	-90,000	-299,378
40	0	2,400	-67,385	17,200	-86,679	2,600	-68,968	-90,000	-313,032
50	0	3,000	-71,570	21,500	-87,343	3,250	-72,903	-90,000	-321,816
60	0	3,600	-74,481	25,800	-87,787	3,900	-75,624	-90,000	-327,892
70	0	4,200	-76,613	30,100	-88,104	4,550	-77,610	-90,000	-332,327
80	0	4,800	-78,237	34,400	-88,341	5,200	-79,120	-90,000	-335,699
90	0	5,400	-79,514	38,700	-88,526	5,850	-80,306	-90,000	-338,346
100	0	6,000	-80,544	43,000	-88,674	6,500	-81,260	-90,000	-340,478
200	0	12,000	-85,243	86,000	-89,340	13,000	-85,608	-90,000	-350,191

Результаты вычислений отобразим на графике логарифмических характеристик разомкнутой системы:

Рисунок 5 – ЛАЧХ разомкнутой системы

Рисунок 6 – ЛФЧХ разомкнутой системы

Если разомкнутая система устойчива, для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю).

В данном случае ЛФЧХ не совершает отрицательных переходов при положительных значениях ЛАЧХ. Можно сделать вывод о том, что замкнутая система будет устойчивой.

Из графиков находим, что L(2.436)=0 дБ, отсюда .

Из графиков находим, что , отсюда L(4.17)=-8.07 дБ.

Следовательно, запас по модулю составляет 8,07 дБ, а запас по фазе равен 26,35°.