Точки разрыва и их классификация.

Как было сказано выше, функция f(x) непрерывна в точке х₀, если

Если в точке х₀ это двойное равенство не выполняется, то точка х₀ называется точка разрыва функции.

Точками разрыва будем называть также точки, в которых f(x) не определена, но в любой -окрестности которых имеются точки области определения функции f(x).

Классификация точек разрыва.

Пусть =f(x₀+0)=А₊ и =f(x₀-0)=А _– правый и левый односторонний пределы.

1. А₊=А_-≠f(x₀) - х₀ –точка устранимого разрыва .

(можно доопределить функцию в точке х₀: f(x₀)=f(x₀+0)=f(x₀-0))/

2. Существуют конечные пределы =f(x₀+0)=А₊ и =f(x₀-0)=А _– , но А₊≠А_- f(x₀) - х₀ – точка разрыва 1-го рода.

А₊-А_- - скачок функции в точке х₀. Пример. f(x)=

Эта функция определена всюду, кроме точки х₀=0, но в любой -окрестности этой точки имеются точки области определения этой функции. Следовательно, х₀=0 – точка разрыва функции f(x)=.

=, =

Т.о. существуют конечные односторонние пределы, но они не равны. Значит, х₀=0 – точка разрыва 1-го рода.

Величина скачка функции в этой точке: f(+0)-f(-0)==.

3) Если в точке х₀ не существует хотя бы один из односторонних пределов или в точке х₀ хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то х₀ – точка разрыва 2-го рода.

Например, функция - определена всюду, кроме точки х₀=2, но в любой -окрестности этой точки имеются точки области определения этой функции. Следовательно, х₀=2 – точка разрыва функции f(x). Т.к. функция не имеет предела при х→2, то это точка разрыва 2-го рода.

2) Функция у= - в точке х=3 имеет точку разрыва 2-го рода, т.к. односторонние пределы бесконечны.

=, =

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

f(x)=

Функции у=х³+1, у=2 и у=3х непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрыв только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках х₁=1 и х₂=2.

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего соответствующие найдем односторонние пределы и значения функции.

1) В точке х₁=1.

значение f(1) - неопределенно

Т.о. , т.е. точка х₁=1 – точка устранимого разрыва функции.

2) В точке х₂=2

f(2)=2

Т.о. f(2)=2, т.е. точка х₂ – точка разрыва 2-го рода.

Скачок функции в точке х₂: 6-2=4.

График.

f(x)=

В точке х₁=-Π разрыв 1-го рода и непрерывна слева. Скачок функции в точке х₁ равен -Π.

В точке х₂=Π/2 – точка устранимого разрыва (f(Π/2) – неопределенно).

Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке.

Первая теорема Больцано-Коши. (Теорема об обращении функции в ноль)

Теорема 1. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков (т.е. f(a)∙f(b)<0), то внутри отрезка найдется такая точка с(a,b) такая, что f(с)=0. (Рисунок)

Замечание. Эта теорема есть достаточное условие для разрешимости уранвений вида f(x)=0. На ней основывается метод интервалов.

Доказательство.

1) Пусть для определенности f(a)>0, f(b)<0. Разделим отрезок [a,b] пополам, получим точку с₁=. Тогда возможны 2 варианта: 1) f(c₁)=0 – тогда точка с₁-искомая

2) f(c₁)≠0, т.е. либо f(с₁)>0, либо f(с₁)<0. Тогда на концах только одного из отрезков [a,с₁] и [с₁,b] функция принимает значения разных знаков.

Обозначим этот отрезок I₁=[a₁,b₁]. Разделим отрезок I₁ пополам точкой с₂=. Тогда возможны 2 варианта: 1) f(c₂)=0 – тогда точка с₁-искомая

2) f(c₂)≠0, т.е. либо f(с₂)>0, либо f(с₂)<0. Тогда на концах только одного из отрезков [a₁,с₂] и [с₂,b₁] функция принимает значения разных знаков. И т.д. до бесконечности. Если на некотором шаге мы получим точку c_k такую, что f(c_k)=0, то теорема доказана.

В противном случае мы получим последовательность вложенных отрезков:

I₁I₂…I_k…

На k-м шаге получим отрезок I_k=[a_k,b_k] такой, что f(a_k)>0 f(b_k)>0

Согласно лемме о вложенных отрезках сI_k, k=1,2,…

Покажем, что f(с)=0.

Последовательность левых концов а_k→c, k→

Последовательность правых концов b_k→c, k→

Т.к. 0с-а_kI_k= и 0→0,k→ и →0,k→, то, по теореме о пределе промежуточной функции, с-а_k→0,k→, т.е. а_k→с,k→,

По условию, функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а значит непрерывна и в точке с[a,b]. Следовательно, f(c)==

Но f(a_k)>0 и 0, а f(b_k)<0 и 0.

Получили, что f(c)0 и f(c)0, следовательно, f(c)=0. ч.т.д.

Замечание. Требование непрерывности функция f(x) во всех точках отрезка [a,b] существенно. Например, рассмотрим функцию f(x)= на отрезке [-1,1]. Хотя на концах этого отрезка функция и принимает значения разных знаков, но в нуль на [-1,1] не обращается, т.к. не является непрерывной в точке х=0.

Вторая теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции).

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)≠f(b), тогда для любого числа С, заключенного между числами f(a) и f(b) найдется такая точка ξ(a,b) такая, что f(ξ)=С. (Рисунок)

Доказательство. Пусть, для определенности, f(a)<f(b), тогда f(a)<c<f(b).

Введем вспомогательную функцию φ(х)=f(x)-c

Тогда φ(а)=f(a)-c<0, φ(b)=f(b)-c>0.

Следовательно, по теореме 1, между точками a и b обязательно найдется хотя бы одна точка ξ такая, что φ(ξ)=f(ξ)-c=0, т.е. f(ξ)=c. Ч.т.д.

Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции). Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют числа m и М такие, что mf(x)М х[a,b].

Доказательство.

Допустим противное, что функция f(x) не является ограниченной на отрезке [a,b].

Тогда найдется хотя бы одно х₁[a,b] такое, что f(x₁)>1.

Аналогично, можно указать х₂[a,b] такое, что f(x₂)>2.

И т.д. продолжая этот процесс, получим последовательность х₁,х₂,…,x_n,…

Такой, что nN: x_n[a,b] и f(x_n)>n, т.е. f(x_n)→, n→ (1)

С другой стороны, полученная последовательность ограничена, т.к. nN ax_nb

А из ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Пусть это будет подпоследовательность и пусть .

Тогда kN ab.

Переходя в этом неравенстве к пределу при k→, получаем ax₀b, т.е. х₀[a,b].

По условию функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Значит f(x) непрерывна и в точке х₀. Т.к. , то f()→f(х₀), k→f()→f(х₀), k→ (2)

С другой стороны, последовательность является подпоследовательностью для последовательности . Учитывая (1) получаем, что должно быть

f()→,k→ (3)

Сопоставляя (2) и (3) получаем противоречие. Следовательно ч.т.д.

Замечание. Требование непрерывности функции f(x) на отрезке [a,b] существенно. Если функция f(x) непрерывна на интервале (a,b) или полуинтервале [a,b) ((a,b]), то нельзя гарантировать ограниченность f(x) на этих промежутках. Например, рассмотрим функцию f(x)= на промежутке (0,1]. В каждой конкретной точке этого промежутка она принимает конечное значение, но f(x)= не ограничена, т.к. при приближении х к 0 может принимать сколь угодно большое значение.

Вторая теорема Вейерштрасса (о минимальном и максимальном значении. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда она существуют такие точки из отрезка [a,b], в которых функция принимает наименьшее значение m и наибольшее значение М. (Рисунок)

Доказательство. По теореме об ограниченности непрерывной функции, множество значений, которые принимает функция f(x) на отрезке [a,b] ограниченно. Следовательно, существуют его точная верхняя и точная нижняя границы.

Пусть М=, m= (M и m – конечные числа).

Покажем, что f(x) достигает в промежутке [a,b] наибольшее значение. Для этого надо доказать, что в промежутке [a,b] имеется хотя бы одна точка х₀ такая, что f(x₀)=М.

Допустим, что такой точки в промежутке [a,b] нет. Тогда справедливо неравенство: М-f(x)>0 (т.к. М=).

Введем вспомогательную функцию .

Функция φ(х) определена и непрерывна на отрезке [a,b] как отношение двух непрерывных функций с необращающимся в 0 знаменателем. Более того, φ(х)>0 на [a,b].

Следовательно, к φ(х) можно применить первую теорему Вейерштрасса, т.е. K>0: будет:

φ(х)К или КМ-f(x)f(x)M-, (*)

Т.к. неравенство (*) выполняется , то число М- является верхней границей множества {f(x)}, x[a,b]. А это невозможно, т.к. М= и, следовательно, любой число, меньшее, чем М не является верхней границей множества {f(x)}, x[a,b].

Получили противоречие. Следовательно, на промежутке [a,b] обязательно имеется хотя бы одна точка х₀, в которой функция f(x) принимает свое наибольшее значение.

Аналогично доказывается, что функция f(x) принимает в промежутке [a,b] свое наименьшее значение. Ч.т.д.

Три важных предела.

1. Покажем, что =1.

=. Т.к. логарифмическая функция непрерывна, то

=

2. Покажем, что =.

Положим а^х-1=уа^х=1+ух=ln(1+y)х=, При х→0, у→0.

Имеем === Перейдем в этом равенстве к пределу:

= По доказанному ранее, .

Следовательно, =

3. Покажем, что =.

Положим (1+х)^-1=у(1+х)^=1+у=ln(1+y), При х→0, у→0.

Имеем === Перейдем в этом равенстве к пределу:

= По доказанному ранее, и =1, следовательно, =.