Основные теоремы дифференциального исчисления.
Локальные экстремумы.
Определение. Точка х0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех точек х из этой окрестности справедливо неравенство:
V(x0): xV(x0)\{x0} f(x)≤f(x0) (f(x)≥f(x0))
Или f(x0+∆х)≤f(x0) (f(x0+∆х)≥f(x0))
Если выполняется неравенство f(x0+∆х)<f(x0) (f(x0+∆х)>f(x0)),
То говорят, о строгом локальном максимуме (минимуме).
Значение функции в точке х0 называют максимумом (минимумом) функции.
Максимум и минимум функции называют экстремумом, х0 – точка локального экстремума.
Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремальных точек) Пусть функция f(x) определена на интервале (a;b) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение (локальный экстремум). Тогда, если в точке х0 существует производная, то она равна нулю =0
Доказательство. Пусть для определенности в точке х0 функция имеет наибольшее значение, т.е. f(x)≤f(x0) .
Это значит, что ∆у=f(x0+∆х)-f(x0)≤0 для любой точки x0+∆х.
Поэтому, если ∆x>0 (x>x0),то .
Следовательно,
Если же ∆x<0 (x<x0),то .
Поэтому,
Т.е. правая производная в точке х0 неположительная, а левая неотрицательна. По условию существует. Значит, ===0. Ч.т.д.
Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, если в точке x0.функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение, то касательная к графику функции у=f(x) в точке (х0,f(x0)) параллельна оси Ох. (Рисунок).
Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема хотя бы в интервале (a;b).
Если f(a)=f(b), то найдется, по крайней мере, одна такая точка с(a;b), что =0.
Доказательство.
Т.к. функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса, функция f(x) на отрезке [a;b] достигает как своего наибольшего М, так и своего наименьшего m значения. Значит х[a,b] mf(x)M (1)
Возможны 2 случая
-
Если m=M, то из неравенства (1) следует, что все значения функции f(x) в промежутке [a;b] равны между собой, т.е. f(x)=const, тогда с – любая точка интервала (a;b).
-
m<M, т.е. f(x)≠const. В этом случае хотя бы одно из двух значений m или M функция f(х) принимает во внутренней точке с(a;b) (иначе, ввиду того, что f(a)=f(b), мы получили бы m=M, а это не так).
Т.о. выполнены все условия теоремы Ферма. Значит =0. Ч.т.д.
Геометрический смысл теоремы Ролля.
Если крайние ординаты графика функции у=f(x) равны, то на кривой найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции у=f(x) будет параллельна оси абсцисс. В этой точке производная и будет равна нулю.
Рисунок.
Пример. 1) Пусть f(x)=х2-4х.
f(0)=f(4)=0 =2x-4=0 в точке х=2. Здесь a=0, b=4, c=2.
2) Пусть f(x)=х3-6х2+11х-6.
f(1)=f(2)=f(3)=0 =3x2-12х+11=0 в точках 1=, 2=.
Здесь точка 1= лежит между точками х2=2 и х3=3,
Точка 2=. лежит между точками х1=1 и х2=2.
Теорема Лагранжа о конечных приращениях.
Пусть 1) функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], 2) существует конечная производная (х), по крайней мере, на интервале (a;b), тогда найдется по крайней мере одна точка с(a;b) такая, что
с(a;b): что f(b)-f(a)=(c)(b-a)
или
Доказательство.
1. При f(a)=f(b) утверждение вытекает из теоремы Ролля. (0=0(b-a))
2. При f(a)≠f(b). Введем вспомогательную функцию.
Вычтем из функции f(x) линейную функцию φ(х) такую, чтобы значение разности f(x)-φ(х) на концах отрезка совпадали.
Проведем прямую L׀׀AB, тогда
φ(х)=
Тогда f(а)-φ(а)= f(а)-0= f(а)
f(b)-φ(b)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a)
Введем функцию g(x)=f(x)-,
g(a)=f(a)=g(b)
Функция g(x) удовлетворяет условиям теоремы Роля: непрерывна в [a;b], т.к. представляет собой разность между непрерывной функцией f(x) и линейной функцией. В промежутке (a;b) имеет конечную производную, равную (х)=(х)-. Следовательно, модно применить теорему Роля, т.е.
с(a;b): что (c)=0
(c)=(с)- =0, т.е. ч.т.д.
- формула Лагранжа или формула конечных приращений.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Пусть A(a,f(a)) и B(b,f(b)) – концы графика функции y=f(x), АВ – хорда, соединяющая точки А и В. Тогда правая часть формулы представляет собой tg , т.е. тангенс угла, образованного хордой АВ с положительным направлением оси Ох.
Поэтому равенство можно переписать в виде tg =tg . Значит, на кривой АВ имеется, по крайней мере, одна точка (c,f(c)) такая, в которой касательная к АВ параллельна хорде АВ.
Следствие 1.
Пусть функция у=f(x) дифференцируема в каждой точке промежутка (a;b). Если (х)=0 х(a;b), то функция тождественно постоянна на этом промежутке (f(x)=const).
Доказательство.
Зафиксируем точку х0(a;b) и возьмем точку х правее х0. Тогда, по теореме Лагранжа, f(x)-f(x0)=(c )(x-x0). Т.к. (с)=0, то f(x)-f(x0)=0. Т.е. для всех х правее х0 f(x)=f(x0).
Аналогично, если х левее х0, то f(x0)-f(x)=0, т.е. f(x0)=f(x). Ч.т.д.
Следствие 2.
Пусть функции f(x) и g(x) такие, что х(a;b).
Тогда функция f(x)-g(x)=const)
Теорема Коши. (б.д.)Пусть имеются две функции f(x) и g(x), удовлетворяющие условиям:
1) f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b];
2) f(x) и g(x) имеют конечные производные и хотя бы в интервале (a;b);
3) .
Тогда между точками a и b найдется по крайней мере одна точка с такая, в которой имеет место равенство: - формула Коши.
Доказательство. Установим сначала, что знаменатель не равен нулю, т.е. g(a)≠g(b). Действительно, если предположить, что g(a)=g(b), то функция g(x) будет удовлетворять условиям теоремы Ролля. Тогда найдется хотя бы одна точка такая, что =0. А это невозможно, т.к. по условию .
Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x)=f(x)-f(a)-, которая удовлетворяет условиям теоремы Ролля, а именно 1) определена и непрерывна на отрезке [a;b], т.к. f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b];
2) имеет конечную производную хотя бы в интервале (a;b), .т.к. в (a;b) существуют конечные производные и ;
3) F(а)=f(а)-f(a)-=0=F(b)=f(b)-f(a)-=0
Следовательно, обязательно найдется хотя бы одна точка с(a;b): , т.е.
ч.т.д.
Замечание 1. Формула конечных приращений Лагранжа является частным случаем формулы Коши при g(x)=x, x[a,b].
Замечание 2. Как формула Коши, так и формула Лагранжа, имеет место не только когда a<b, но и в случае, когда a>b
Правило Лопиталя. (Для раскрытия неопределенностей)