4.5. Портфель Марковица минимального риска

Задача состоит в том, чтобы при заданном уровне эффективности портфеля m_p обеспечить минимальный риск. Т.о., математически задача формулируется следующим образом:

при условии:

(4)

Ограничения могут накладываться и не накладываться. Если условие допускается, то это означает, что инвестор может проводить операции «короткой продажи» (short sale), которые состоят в том, что он не покупает ценные бумаги i-го вида, а получает их денежный эквивалент с обязательством поставить эти ценные бумаги через какое-то время.

4.6. Портфель Тобина

Здесь рассматривается специальный случай, когда на рынке имеются безрисковые бумаги (государственные ценные бумаги).

Пусть m₀ - эффективность безрисковых бумаг, а x₀ - доля вложенного в них капитала, тогда в рисковую часть портфеля вложена (1 – x₀) часть всего капитала. Пусть m_r - эффективность, V_r - вариация и r_r - риск рисковой части.

В предположении, что безрисковые бумаги не коррелируют с остальными, легко найти, что , , .

Задача Марковица в этом случае принимает вид:

,

при условии:

(5)

4.7. Портфель Марковица и Тобина максимальной эффективности

В данном случае ставится задача формирования портфеля максимальной эффективности, имеющего риск не более заданного. Тогда задача записывается в виде:

,

при условии, что

(6)

4.8. Формирование оптимального портфеля с помощью ведущего фактора финансового рынка

В предыдущих разделах предполагалась, что известны математические ожидания и ковариация ценных бумаг.

Для определения этих параметров формально можно использовать прямой статистический подход, если имеется достаточно протяженная история курсов и выплачиваемых дивидендов по ценным бумагам.

Пусть значения доходностей i-ой и j-ой ценных бумаг образуют ряды чисел . Тогда:

,

,

Если, например, наблюдается 500 предприятий и по ним имеются временные ряды длиной Т=100 (кварталов). Более длинные ряды рассматривать не имеет смысла, так как за 25 лет экономическое состояние предприятий сильно изменится.

Т.о., имеется n۰ Т = 50000 чисел, а оценить нужно n = 500 средних и вариаций и ковариаций. Т.е., оценить нужно значительно больше величин, чем имеется данных. Поэтому прямой статистический подход для оценок ковариаций малопригоден, хотя может быть использован для оценок математических ожиданий.

4.9. Влияние ведущего фактора на составляющие финансового рынка

Трудности прямого применения статистических методов преодолеваются путем анализа зависимости курсов и других характеристик ценных бумаг от ведущих факторов финансового рынка.

Ведущими факторами называются такие факторы, которые влияют практически сразу на показатели всех ценных бумаг.

Рассмотрим вначале случай когда имеется один доминирующий фактор f, влияющий на доходность ценных бумаг. Пусть d – доходность какой-нибудь фиксированной ценной бумаги. Примем гипотезу, что d линейно зависит от f: d = а + bf.

С помощью метода наименьших квадратов, находим:

,

,

Если ведущий фактор f выбран удачно, то его влияние определяет почти все колебания доходности d, а остальные колебания оказываются сравнительно небольшими и не коррелируют как друг с другом, так и с доходностями других ценных бумаг. Обозначим через вариацию остаточного колебания e_i i-ой ценной бумаги, а через - ковариацию остаточных колебаний i-ой и j-ой ценных бумаг. Тогда:

, а при .

Учитывая последние соотношения, находим:

( - эффективность ведущего фактора)

(7)