2.2. Передаточные функции.

Понятие передаточная функция является наиболее важной категорией в теории автоматического управления и регулирования. Пере­даточная функция является своего рода математической моделью САР, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы.

Передаточная функция представляет собой отношение изображе­ние по Лапласу выходной величины Y ( S ) к изображению входной величины Х ( S ), т.е.

Учитывая условиядля линейных систем уравнение (2.3) запишем в следующем виде:

(2.8)

Поскольку для линейных систем можно применить принцип наложения, то будет справедливым выделить следующие два случая:

- сигнал Z ( S ) = 0, тогда

- сигнал X ( S ) = 0, тогда

Тогда, для любой САР, имеющей входы по управлению и по возмущению, можно определить две передаточные функции:

(2.9)

(2.10)

Уравнение (2.9) представляет передаточную функцию по управлению, а выражение (2.10) представляет передаточную функцию по возмущению.

Как известно, собственный оператор Q ( p ) может быть записан в следующем виде.

Соответственно оператор управляющего воздействия R₁ ( р ) и опе­ратор возмущающего воздействия R₂ ( p ) выразим следующим образом:

Следовательно, передаточные функции по управлению и по возмущению представляют собой отношения следующих полиномов:

Для физической реализуемости системы необходимо выполнить условие n>m и n>k.

Передаточные функции содержат особые точки на комплексной плоскости -нули и полюса. Полюса - это те значения S, при которых передаточная функция превращается в бесконечность. Для определения полюсов необходимо собственный оператор (знаменатель передаточной функции) приравнять к нулю и произвести решение алгебраического уравнения относительно S. Нули - это те значения S, при которых передаточная функция равна нулю. Для нахождения нулей числитель передаточной функции приравнивается к нулю и полученное алгебраическое уравнение решается относительно S. В связи о этим передаточная функция может быть представлена как отношение произведений элементарных сомножителей:

где _i - полюса передаточной функции;

_k - нули передаточной функции.

Если задана структура САР, то можно определить передаточную функцию относительно любых двух точек структуры. При этом необ­ходимо использовать существующие правила и метода структурных преобразований.

2.3. Структурные схемы и структурные преобразования.

Обычно структурная схема САР состоит из отдельных элементов, соединенных последовательно, параллельно или с помощью обратных связей. Каждый элемент имеет один вход и один выход и заданную передаточную функцию.

Существуют следующие правила структурных преобразований, позволяющие по передаточным функциям отдельных элементов опреде­лить требуемую передаточную функцию.

При последовательном соединении элементов передаточные функции перемножаются. При параллельном соединении передаточные функции суммируются. Правила структурных преобразований при наличии обратных связей представлены на рис 2.2.

Рис 2.2. Правила структурных преобразований при наличии обратных связей: а - положительная, б - отрицательная.

Рассмотренные правила позволяют для одноконтурных структур САР получить эквивалентные передаточные функции по управлению, по возмущению, по ошибке и разомкнутой САР.

Пусть задана структура одноконтурной САР в виде, представленном на рис 2.3

Рис 2.3. Структурная схема одноконтурной САР.

Передаточная функция разомкнутой системыW_p ( S ) определя­ется выражением:

Передаточная функция замкнутой САР по управлению W_y(S) имеет следующий вид:

Передаточная функция замкнутой САР по возмущению определяется выражением:

Передаточная функция замкнутой САР по ошибке имеет следующий вид.

Приведенные здесь передаточные функции получены на основе применения правила последовательного соединения элементов и соединения в виде обратных связей.

Если задана многоконтурная структура САР, то с помощью структурных преобразований она может быть приведена к одноконтурной. При этом используется ряд дополнительных правил, связанных с переносом элементов структурной схемы. Эти правила сведены в таблицу 2.1.

Таблица 2.1