5. Применение операционного исчисления к решению интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Примеры

Многочисленные процессы описываются уравнениями, в которых неизвестная функция входит под знак интеграла. Такие уравнения называются интегральными и они тесным образом связаны с дифференциальными. Так, например, дифференциальное уравнение первого порядка

с условием при эквивалентно следующему интегральному уравнению:

в котором неизвестная функция входит под знак интеграла. Вообще говоря, эта функция входит в уравнение нелинейным образом, так что уравнение является нелинейным интегральным уравнением.

Если является линейной по функцией, то указанное интегральное уравнение называется линейным. Среди линейных интегральных уравнений важное место занимают уравнения вида

,

которые иногда называются уравнениями типа свертки. Функция называется ядром интегрального уравнения, - неизвестная функция, - заданная функция, - постоянные.

Такое уравнение легко решается операционным методом.

Введем в рассмотрение изображения функций:

.

Теорема свертывания дает

.

Получаем операторное соотношение

,

из которого находим изображение неизвестной функции:

.

Для находим оригинал - решение интегрального уравнения.

Пример 22. Решить интегральное уравнение

.

Решение. Перейдем в область изображений, используя теорему интегрирования оригинала:

,

откуда

.

Разложим изображение на простейшие дроби:

.

Тогда

.

Обратное преобразование дает решение исходного уравнения:

.

Пример 23. Решить интегральное уравнение

.

Решение. При переходе в область изображений используем правило свертки:

Получим

.

Методом разложения на простейшие дроби изображение решения представим в виде

.

Решением исходного уравнения будет функция

.

Пример 24. Найти решение интегро-дифференциального уравнения

, .

Решение. При переходе в область изображений используем теорему дифференцирования оригинала и теорему о свертке:

.

Решением исходного уравнения будет функция

.

6. Индивидуальные задания

Задание 1. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

1. , .	15. , .
2. , .	16. , .
3. ,	17. , .
4. , .	18. , .
5. , .	19. , .
6. , .	20. , .
7. , .	21. , .
8. , .	22. , .
9. ,	23. , .
10. , .	24. , .
11. , .	25. , .
12. , .	26. , .
13. , .	27. , .
14. , .	28. , .

Задание 2. Используя операционное исчисление, решить дифференциальные уравнения с кусочно-непрерывной правой частью:

1. , .	15.
2. , .	16.
3. , .	17.
4. , .	18.
5. , .	19.
6., .	20.
7. , .	21.
8. , .	22.
9. , .	23.
10., .	24.
11. , .	25.
12., .	26.
13. , .	27.
14.	28.

Задание 3. Записать с помощью интеграла Дюамеля решение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях:

1.	14.
2.	15.
3.	16.
4.	17.
5.	18.
6.	19.
7.	20.
8.	21.
9.	22.
10.	23.
11.	24.
12.	25.
13.	26.

Задание 4. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:

1.	14.
2.	15.
3.	16.
4.	17.
5.	18.
6.	19.
7.	20.

8.	21.
9.	22.
10.	23.
11.	24.
12.	25.
13.	26.

Задание 5. Решить интегральное уравнение

.

Исходные данные по вариантам приведены ниже:

№ варианта	Исходные данные		№ варианта	Исходные данные
1.			14.
2.			15.
3.			16.
4.			17.
5.			18.
6.			19.
7.			20.
8.			21.
9.			22.
10.			23.
11			24.
12.			25.
13.			26.