МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(НОВОЧЕРКАССКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ)

ВОЛГОДОНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Учебно-методическое пособие к решению типовых расчетных заданий

Новочеркасск 2004

УДК 51. (076.1)

Рецензент д-р техн. наук, проф. Ю.С. Сысоев

Гладун К.К.

Операционное исчисление и его приложения: Учебно-методическое пособие к решению типовых расчетных заданий /Волгодонский ин-т (филиал) ЮРГТУ(НПИ). Новочеркасск: ЮРГТУ, 2004. 37 с.

Пособие написано в соответствии с действующей программой по курсу высшей математики. Содержит справочный материал, а также минимум теоретических понятий, лежащих в основе изложенных методов решения типовых задач. Предложены индивидуальные типовые расчетные задания (ТР) для самостоятельного решения.

Пособие предназначено для методического обеспечения системы ТР по специальным главам высшей математики.

 Волгодонский институт (филиал) ЮРГТУ, 2004

 Гладун К.К., 2004

Введение

Методы операционного исчисления, получившие довольно широкое распространение, представляют собой своеобразный способ решения различных математических задач, в первую очередь дифференциальных уравнений. В основе этих методов лежит идея интегральных преобразований, связанная с сопоставлением решению исходной задачи, функции f(t) действительной переменной, некоторой функции F(р) комплексной переменной. При этом обыкновенное дифференциальное уравнение для функции f(t) переходит в эквивалентное, более простое для решения, алгебраическое уравнение для F(р), решив которое, мы затем находим f(t) – решение исходного уравнения.

С подобной ситуацией мы встречались в школьном курсе математики, решая задачу вычисления значения алгебраического выражения, составленного из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень.

Например, при вычислении выражения

для определенных положительных значений и , можно поступить следующим образом. Помня о том, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над исходными числами (при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении – вычитаются и т.д.), прологарифмируем данное выражение:

.

Тем самым от задачи вычисления выражения А, включающего сложные операции над величинами а, b и с, мы переходим к вычислению его логарифма, включающего более простые операции над логарифмами указанных величин. Используя таблицы логарифмов, находим не само выражение А, а его логарифм. Затем, осуществляя обратную операцию, находим значение исходного выражения.

В дальнейшем будем рассматривать операционное исчисление, построенное на основе преобразования Лапласа.

1. Преобразование Лапласа и его свойства

Преобразованием Лапласа заданной функции f(t) действительной переменной t называется преобразование, ставящее в соответствие функции f(t) функцию F(р), определенную с помощью интеграла

,

где р – положительное действительное число или комплексное число с положительной действительной частью.

Естественно, что не для всякой функции f(t) этот интеграл имеет смысл. Введем в рассмотрение класс функций f(t), для которых данное преобразование заведомо реализуемо. Будем рассматривать функции f(t), определенные для всех значений действительной переменной и удовлетворяющие следующим условиям:

а) для всех отрицательных t

f(t)=0;

б) на любом конечном отрезке положительной полуоси 0t функция f(t) и f'(t) имеют не более конечного числа точек разрыва первого рода (конечных скачков);

в) функция f(t) растет не быстрее показательной, т.е. существуют такие действительные постоянные и , что для всех t.

Такие функции в операционном исчислении называются изображаемыми по Лапласу, или оригиналами, а функции F(р) – лапласовым изображением f(t), или просто изображением f(t).

Переход от оригинала f(t) к изображению F(р) будем обозначать символами

или ,

а от изображения к оригиналу – символами

или .

Преобразованию Лапласа свойственно то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами f(t) соответствуют более простые соотношения и операции над их изображениями F(р).

Приведем основные правила для преобразования Лапласа, устанавливающих соответствие между операциями над оригиналами и операциями над их изображениями.