4. Решение линейных дифференциальных уравнений и их систем методом операционного исчисления. Примеры

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

,

удовлетворяющее начальным условиям:

при .

Будем считать, что функция f(t) и решение х(t) вместе с его производными до второго порядка являются оригиналами. Запишем соответствия:

;

;

;

.

Для изображения искомого решения получим алгебраическое уравнение

,

решением которого будет

.

Осуществив переход к оригиналу, получим решение х(t) задачи для исходного дифференциального уравнения.

Общий случай решения задачи Коши для дифференциального уравнения п-го порядка принципиально ничем не отличается от случая п=2 и осуществляется по схеме:

Сравним классический метод интегрирования указанного дифференциального уравнения с начальными условиями с вышеизложенным операционным методом.

Согласно классическому методу для отыскания решения дифференциального уравнения с начальными условиями нужно было найти сначала решение однородного уравнения . Это решение, как известно, содержит п произвольных констант (п-порядок уравнения). Затем найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения, что, вообще говоря, затруднительно, и затем записать общее решение . После чего, используя начальные условия, определить из системы алгебраических уравнений значения констант. И только после этого записать частное решение неоднородного уравнения задачи Коши.

Операционное исчисление дает возможность сразу получить указанное частное решение неоднородного уравнения. Заметим, что если считать х₀ и х₁ произвольными величинами, то полученный оригинал x(t) будет общим решением неоднородного уравнения второго порядка.

Пример 17. Найти решение дифференциального уравнения при начальных условиях , .

Решение. Перейдем к изображениям:

;

;

;

.

Относительно изображения решения получим алгебраическое (операторное) уравнение:

.

Решим это уравнение относительно Х(p):

;

.

Разложим правую дробь на простейшие:

;

;

, , .

Изображение решения представится в виде

.

Используя свойство линейности и теорему смещения, перейдем в область оригиналов. Получим решение исходной задачи Коши:

.

Пример 18. Найти частное решение дифференциального уравнения

при начальных условиях , .

Решение. Переходим в область изображений:

;

;

;

;

.

Исходному уравнению соответствует операторное уравнение вида

.

Решаем это уравнение относительно :

;

.

Преобразуем выражение для изображения решения как функцию аргумента :

.

При переходе в область оригиналов, прежде всего, воспользуемся теоремой смещения, а затем разложим дробь на простейшие слагаемые:

.

Итак, решением исходной задачи Коши будет функция

.

Вкратце остановимся на интегрировании дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывной правой частью.

Основываясь на теореме запаздывания оригинала, без особого труда операционным методом интегрируются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, в правой части которых стоит некоторая кусочно-непрерывная функция. Это является еще одним важным преимуществом методов операционного исчисления по сравнению с классическими методами. При использовании последних подобные уравнения (правая часть которых имеет различный вид на разных интервалах изменения аргумента) пришлось бы интегрировать по этапам, т. е. на каждом таком интервале по отдельности решать свою задачу Коши. От всей этой часто громоздкой работы мы полностью избавляется, применяя операционные методы.

Пример 19. Найти частное решение уравнения

, где

Решение. Перейдем в область изображений с учетом нулевых начальных условий:

Запишем функцию через функцию включения

.

Изображением функции будет функция

.

Перейдем к решению операторного уравнения:

,

из которого следует, что изображением решения будет функция

.

Воспользуемся таблицей изображение – оригинал (см. табл. 3, формула 8), а также теоремой запаздывания. Получим

.

Пример 20. Решить операционным методом систему уравнений

.

Решение. Метод интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений по существу не отличается от метода интегрирования одного уравнения. Каждое из уравнений системы переводим в область изображений с учетом начальных условий:

или

Ее решение таково:

; .

Разлагаем дроби, стоящие в правых частях, на элементарные:

; .

Переходя к оригиналам, получим искомое решение:

Операционное исчисление играет важную роль в изучении систем автоматического управления, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, устанавливающими зависимость реакции - выходного сигнала от воздействия на систему - входного сигнала.

Оказывается, что для установления этой зависимости достаточно знать реакцию системы, находившейся в состоянии покоя, при воздействии на нее сигнала в виде единичного скачка . Тогда реакция системы на произвольное воздействие определяется по формуле Дюамеля

,

которая выражает решение дифференциального уравнения, отвечающее произвольному входному сигналу через решение этого же уравнения, отвечающее единичному входному сигналу. Применение этой формулы покажем на примере.

Пример 21. Решить уравнение

при нулевых начальных условиях: .

Решение. Если неоднородная часть дифференциального уравнения вызывает затруднения при переходе в область изображений, то для интегрирования дифференциального уравнения можно использовать формулу Дюамеля, которая позволяет записать решение уравнения в интегральной форме при любых функциях-оригиналах .

Для этого решим вспомогательную задачу Коши при нулевых начальных условиях для уравнения с той же левой частью, а с правой частью, равной единице:

, .

Применяя операционный метод, находим

,

откуда

.

Тогда, согласно формулы Дюамеля, решение исходной задачи будет иметь вид или

.