1. Свойство линейности.

Если , , то для любых чисел α и β справедливо соотношение

,

т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация изображений и обратно.

2. Теорема подобия (изменения масштаба аргумента оригинала).

Если α>0 и , то

,

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число α приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

Рассмотрим оригинал f(t), t0.

Функция

где  - положительное число, имеет график, который получается из графика f(t) сдвигом последнего вправо на величину  вдоль оси t. Таким образом, если функция f(t) определяет течение во времени некоторого физического процесса, то функция определяет тот же процесс, но начавшийся с опозданием . Если ввести в рассмотрение единичную функцию

то запаздывающую функцию можно записать , так как при t< (в этом случае аргумент отрицательный) и 1 при t> . Спрашивается, как, зная изображение некоторого оригинала, найти изображение этого оригинала, в случае, когда его аргумент запаздывает на . Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

3. Теорема запаздывания оригинала.

Если , то для любого  > 0

,

т. е. запаздыванию оригинала на  единиц соответствует домножение изображения на множитель .

Замечание. Применяя совместно теоремы подобия и запаздывания, можно найти изображение для оригинала вида , где  > 0,  - любое число:

.

4. Теорема смещения изображения.

Пусть f(t)F(p). Тогда для любого p₀ справедливо

,

т. е. затуханию оригинала с показателем р₀ соответствует смещение изображения на р₀ .

5. Дифференцирование оригинала.

Если f(t)F(p) и функции f '(t) и f ''(t) являются оригиналами, то

;

;

в частности, если , то

,

т. е. дифференцированию оригинала при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения на р в степени, равной порядку производной.

6. Дифференцирование изображения.

Если , то

,

т. е. дифференцированию изображения F(р) соответствует операция умножения оригинала на (-t) в степени, равной порядку производной.

7. Интегрирование оригинала.

Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, то есть если f(t)F(р), то

.

8. Интегрирование изображения.

Если f(t)F(р) и - оригинал, то

,

т. е. интегрированию изображения F(р) соответствует операция деления на t оригинала f(t).

9. Теорема умножения.

Произведение изображений F(р) и Ф(р) также является изображением, причем

,

где интеграл в правой части называется сверткой функций f(t) и (t) и обозначается символом (f _*) .

Значит, эта теорема утверждает, что умножение изображений равносильно свертыванию соответствующих оригиналов:

_*.

10. Изображение периодического оригинала.

Если оригинал f(t) - периодическая функция с периодом Т, то ее изображение будет

.

11. Теорема Дюамеля.

Если функции f(t) и (t) имеют непрерывные производные на и f(t)F(р), (t)Ф(р), то

,

что равносильно следующим соотношениям:

,

или

.

Все рассмотренные правила (свойства) сведем в общую таблицу (табл.1).

Таблица 1 – Правила преобразования Лапласа

№	Наименование правила	Оригинал	Изображение
1.	Свойство линейности
2.	Теорема подобия
3.	Теорема запаздывания оригинала
4.	Теорема смещения изображения
5.	Дифферен- цирование оригинала
6.	Дифферен-цирование изображения
7.	Интегриро- вание оригинала
8.	Интегри-рование изображения
9.	Теорема умножения
10.	Изображение периодичес-кого оригинала
11.	Теорема Дюамеля
	Интеграл Дюамеля