Задание №9.

1. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр задан. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

2. Из прямоугольного куска жести шириной 50 см. и длиной 80 см. делают ящики: в углах вырезают квадраты, затем закрывают выступающие края и паяют кромки. Рассчитать, какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы изготовить ящики возможно большей емкости.

3. Сахарный завод производит единиц продукции в месяц, а суммарные издержки производства Зависимость между удельной ценой и количеством единиц продукции , которое можно продать по этой цене, такова: Рассчитать, при каких условиях прибыль будет максимальной (выручка ).

4. Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра. Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты Н и диаметра D), чтобы на изготовление пошло минимальное количество жести?

5. Мотком проволоки длиною 20 м. требуется огородить клумбу, имеющую форму кругового сектора. При каком радиусе круга площадь клумбы будет наибольшей?

6. Кривая полных издержек имеет вид ( – объем производства). Рассчитать, при каком объеме производства средние издержки минимальны.

7. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместительностью V=16π. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высоты Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

8. Каковы должны быть размеры(радиус основания R и высоты H) открытого сверху цилиндрического бака максимальной вместимости, если для его изготовления отпущено S= 27 материала?

9. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какой должна быть высота Н воронки, чтобы ее объем был наибольшим?

10. В треугольник с основанием b и высотой h вписать прямоугольник с наибольшей площадью.

11. Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать 108 литров. При каких размерах на изготовление бака потребуется наименьшее количество жести?

12. Кусок проволоки длиной l согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.

13. Контейнер для перевозки труб должен быть выполнен в виде открытого сверху ящика длиной 6 м и объемом 75 м. куб. Каковы должны быть ширина и высота контейнера, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

14. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр сечения 18 м. при каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

15. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти его периметр.

16. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны 10 см. определить ее большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

17. В прямоугольной системе координат через точку А(1;4) проведена прямая, образующая вместе с осями координат треугольник, расположенный в первой четверти. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые на осях координат, чтобы их сумма была наименьшей?

18. Найти соотношение между радиусом R и высотой h цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность.

19. Каковы должны быть размеры консервной банки, имеющей вид прямого кругового цилиндра при заданной полной площади поверхности S?

20. В треугольник с основанием а=20 и высотой h=12 вписан прямоугольник наибольшей площади. Вычислить его площадь.

21. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны а. Определить ее большее основание b так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

22. Найти наибольшее значение произведения двух положительных чисел, сумма которых постоянна и равна а.

23. Найти наименьшее значение суммы двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно b.

24. Из всех прямоугольников данной площади S найти тот, периметр которого наименьший.

25. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма его катета и гипотенузы постоянна.

26. В конус, радиус основания которого равен R, высота равна H, вписать цилиндр наибольшего объема.

27. В шар радиуса R вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

28. Около данного шара описать конус наименьшего объема.

29. В шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объема.

30. Найти наибольший объем конуса с данной образующей l.

31. Затраты на производство х единиц продукции равны d(х), цена продукции – p(x). Выяснить, какое количество продукции нужно произвести, чтобы получить максимальную прибыль, если .

32. Затраты на производство х единиц продукции равны d(х), цена продукции – p(x). Выяснить, какое количество продукции нужно произвести, чтобы получить максимальную прибыль, если .

33.Расходы на обслуживание пассажиров теплохода в течение рейса пропорциональны квадрату времени, которое затрачивается на рейс. Расходы на топливо и амортизацию судна пропорциональны кубу скорости судна. При какой скорости v рейс длиной l будет наиболее экономичным? Каковы будут при этом расходы d на рейс?

34. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V, при которых на облицовку его дна и стен пойдет наименьшее количество материала.

35. Функции долговременного спроса D и предложения S от цены p на мировом рынке нефти имеют, соответственно, вид . Найти эластичность спроса в точке равновесной цены. Как изменится равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25%.

36. Функции спроса D и предложения S от цены p выражаются, соответственно, уравнениями

D=9-p, S=1+p.

Найти эластичность спроса и предложения при равновесной цене, а также изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10%.

37. Зависимость между издержками производства С и объемом продукции Q выражается функцией . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции Q=5 ед.

38. Зависимость между издержками производства С и объемом продукции Q выражается функцией . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции Q=10 ед.

39. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какой должна быть высота Н воронки, чтобы ее объем был наибольшим?

40. Кривая полных издержек имеет вид , (– объем производства). Рассчитать, при каком объеме производства средние издержки минимальны.